Kuantum Turing makineleri nasıl tanımlanır?

52

Kuantum hesaplamada, bir Turing makinesinin eşdeğer modeli nedir? Kuantum devrelerinin kuantum geçitlerinden nasıl oluşturulabileceği oldukça açık , ancak aslında yüksek boyutlu sistemler üzerinde kuantum etkilerinden faydalanabilecek kuantum Turing makinesini (QTM) nasıl tanımlayabiliriz?

quantum-computing turing-machines computation-models

— Ran G.
kaynak

9

Berkeley'in bu ders notu cevap veriyor. www.eecs.berkeley.edu/~vazirani/f97qcom/lec19.ps

— Mohammad Al-Turkistany

1

Aslında kuantum devreleri modeli ve kuantum turing makinesi, ACYao tarafından kanıtlanmış eşdeğerdir.

— Strin

30

^{( not : tam yağma biraz karmaşık ve göz ardı etmeyi tercih ettiğim birkaç incelik var. Aşağıda sadece QTM modeli için üst seviye fikirler var)}

Bir Kuantum Turing makinesi (QTM) tanımlanırken, klasik TM'ye (yani sonlu durumlu bir makine ve sonsuz bir bant) benzeyen basit bir modele sahip olmak ister, ancak yeni modele kuantum mekaniğinin avantajını sağlar.

Klasik modele benzer şekilde, QTM'nin de:

$Q=\{q_0,q_1,..\}$ - sonlu bir durum kümesi. Let bir başlangıç durumu olarak. $q_0$
$\Sigma=\{\sigma_0,\sigma_1,...\}$ , - girdi / çalışma alfabesinin kümesi $\Gamma=\{\gamma_0,..\}$
sonsuz bir bant ve tek bir "kafa".

Bununla birlikte, geçiş işlevini tanımlarken, herhangi bir kuantum hesaplamasının geri dönüşümlü olması gerektiğinin hatırlanması gerekir . TM'nin bir konfigürasyonunun trasının, TM'nin durumunda olduğunu , kasetin içerdiğini ve başın hücresini işaret ettiğini hatırlayın kayıt. $C=(q,T,i)$ $q\in Q$ $T\in \Gamma^*$ $i$

Herhangi bir zamanda, bant sadece sınırlı miktarda boş olmayan hücreden oluştuğundan, QTM'nin (kuantum) durumunu Hilbert uzayında konfigürasyon alanı tarafından oluşturulan bir birim vektör olarak tanımlarız. . Özel yapılandırma durumu olarak temsil edilir_{(not: Bu nedenle, kasetteki her hücre bir}_{-boyutlu Hilbert alanıdır.)} $\mathcal{H}$ $Q\times\Sigma^*\times \mathrm{Z}$ $C=(q,T,i)$

| C ⟩ = | q ⟩ | T ⟩ | i ⟩ .

$|C\rangle = |q\rangle |T\rangle |i\rangle.$ _$\Gamma$

Q ™ duruma getirilir , giriş birleşimidir ile Gerektiği gibi birçok "boşluk" (maksimum uzunluğu belirlemek için burada bir incelik var, ama ben bunu görmezden geliyorum). $|\psi(0)\rangle = |q_0\rangle |T_0\rangle |1\rangle$ $T_0\in \Gamma^*$ $x\in\Sigma^*$

Her zaman adımında, QTM'nin durumu üniter göre evrimleşmektedir. $U$

| ψ (i + 1) ⟩ = U | ψ (i) ⟩

$|\psi(i+1)\rangle = U|\psi(i)\rangle$

İstediğiniz zaman tarafından verildiğini unutmayın . , bandı yalnızca başın bulunduğu yerde değiştiren ve başı bir adım sağa veya sola hareket ettiren herhangi bir birim olabilir. Diğer bir deyişle, sürece sıfır ve den farklıdır sadece konumunda . $n$ $|\psi(n)\rangle = U^n|\psi(0)\rangle$ $U$ $\langle q',T',i'|U|q,T,i\rangle$ $i'= i \pm 1$ $T'$ $T$ $i$

Hesaplamanın sonunda (QTM bir durumuna ) bant ölçülür (hesaplamalı temeli kullanarak). $q_f$

Dikkat edilmesi gereken ilginç şey, QTM'nin durumunun her "adımında", QTM'ye "kuantum" avantajını veren olası yapılandırmaların bir üst üste binmesidir.

Bunun cevabı, Kuantum Turing Makineleri için Durma Sorunu Masanao Ozawa'ya dayanıyor . Ayrıca bkz. David Deutsch, Kuantum teorisi, Kilise Turing ilkesi ve evrensel kuantum bilgisayarı .

— Ran G.
kaynak

7

David Deutsch'nin orijinal tanımının her şeyi doğru aldığından emin değilim ... bu, ilk defa birileri tanımlamaya çalıştı ve matematiksel olarak doğru tanımı bulmak için bazı düzeltmeler yapıldı.

— Peter Shor

7

Notlarda belirtildiği gibi, bir QTM tanımlamanın yolu geçiş işlevini üniter bir devlet ve harf dönüşümü olarak tanımlamaktır. Böylece her adımda, (durum, harf) vektörünü yeni bir durum (durum, harf) elde etmek için bir dönüşümle çarpmayı hayal ediyorsunuz. Özellikle uygun değil, ancak tanımlanabilir.

— Suresh
kaynak