Her bölmenin aynı renkteki topları içermesi için minimum sayıda takas kullanın

Orada kutuları, ben inci bin ihtiva bir i topları. Toplar bulunmaktadır n renk vardır bir ı renk topları i . Let m = Σ n i = 1 , bir i .$n$$i$$a_i$$n$$a_i$$i$$m=\sum_{i=1}^n a_i$

Bir takas, bir kutudan bir topu alır ve başka bir kutudan bir topla değiştirir. Her bölmenin yalnızca aynı renkteki topları içermesi için minimum sayıda takas istiyoruz.

Ben kolay özel durumları biliyorum herkes için i . ( Tüm i için bir i = 2 ise , her topu en fazla bir kez değiştirerek bile yapabilirsiniz.)$a_i\leq 2$$i$$a_i=2$$i$

Düzenleme : Bu yanlış çünkü bulmak NP zordur.$c(D)$

Hangi rengin hangi kutuya gittiğini bilirsek, sorun kolaydır.

Çok kesitli bir , V = { v 1 , … , v n } düşünün . Biz rengini biliyorsanız ben bin gider b ( i ) , sonra orada k paralel yay ( j , b ( i ) ) içinde A bin iff j içeren k renk toplarını $D=(V,A)$$V=\{v_1,\ldots,v_n\}$$i$$b(i)$$k$$(j,b(i))$$A$$j$$k$$i$. Grafiğin her bileşeni Euler'dir. Gereken minimum takas sayısı ; burada c ( D ) , A'yı kapsayan ark ayrıklığı döngü sayısıdır . Bir Eulerian devresini "takip ederek" takas edebiliriz. (asgari bir çevrimin yayını kullanan bir takas, daha küçük bir asgari döngü ve bir kendi kendine döngüye dönüştürebilir). Grafiğin tamamı kendi kendine döngüler oluşturduktan sonra, gerekli tüm takasları yaptık.$m-c(D)$$c(D)$$A$

Genel olarak bu problem ne kadar zor?

Bir Eulerian yönlendirilmiş grafiğin kenar ayrıklık döngülerine maksimum ayrışması, en azından bu kitaba göre NP- Hard'dur : Algoritmalar ve Uygulamalar: Esko Ukkonen'e 60. Doğum Gününe İlişkin Makaleler .

btw, çözmeye çalıştığınız problemle ilgili bir makale: Hollanda Ulusal bayrak algoritması için asimptotik olarak en uygun algoritma .

$n \le 6$