Kilise rakamlarını içeren bir lambda hesabı değerlendirmesi

Bir Kilise rakamının $c_n$ benzediğini anlıyorum (... n kez ...) $\lambda s. \lambda z. s$ $s\;z$ . "Fonksiyon daha Bu araçlar bir şey $s$ uygulanan $n$ fonksiyonu kez $z$ ".

işlevinin olası bir tanımı aşağıdadır: $\mathtt{times}$ . Vücuda baktığımda, fonksiyonun arkasındaki mantığı anlıyorum. Ancak değerlendirmeye başladığımda takıldım. Bir örnekle göstereceğim: $\mathtt{times} = \lambda m. \lambda n. \lambda s. m \; (n\; s)$

\begin{aligned} (λ m . λ n . λ s . m (n s)) (λ s . λ z . s s z) (λ s . λ z . s s s z) \\ \to^{*} & λ s . (λ s . λ z . s s z) ((λ s . λ z . s s s z) s)) \\ \to^{*} & λ s . (λ s . λ z . s s z) (λ z . s s s z) \\ \to^{*} & λ s . λ z . (λ z . s s s z) (λ z . s s s z) z \end{aligned}

$\begin{align*} (\lambda m. \lambda n. \lambda s. m \; (n\; s))(\lambda s.\lambda z.s\;s\;z)(\lambda s.\lambda z.s\;s\;s\;z) \mspace{-4em} \\ \to^*& \lambda s. (\lambda s.\lambda z.s\;s\;z) \; ((\lambda s.\lambda z.s\;s\;s\;z)\; s)) \\ \to^*& \lambda s. (\lambda s.\lambda z.s\;s\;z) \; (\lambda z.s\;s\;s\;z) \\ \to^*& \lambda s. \lambda z.(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z \end{align*}$

Şimdi bu durumda, eğer ilk başvurursam , istenen sonuca ulaşıyorum. Ancak, eğer başvurursam $(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z$ ilk olarak, başvuru soldan ilişkisel olduğu için yanlış bir sonuç alıyorum: $(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)$

$\lambda s. \lambda z.(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z \to \lambda s. \lambda z.(s\;s\;s\;(\lambda z.s\;s\;s\;z))\;\;z$

Bunu artık azaltamıyorum. Neyi yanlış yapıyorum? Sonuç olmalıdır $\lambda s. \lambda z.s\;s\;s\;s\;s\;s\;z$

lambda-calculus church-numerals

— Codd
kaynak

Başlangıç döneminizdeki Kilise rakamları doğru değil. 2 ile temsil edilir

değil

λ s . λ z . s (s z)

$\lambda s. \lambda z. s (s z)$

λ s . λ z . s s z

$\lambda s. \lambda z. s s z$

— Uday Reddy

Bence indirgemenin doğru olduğunu düşünüyorum. Sonunda, uygulayamazsınız için , bu asla vadede görünür. , , değil . Lambda hesabındaki işlevler tek bir argüman alır; etkili bir şekilde körüklenirler $(\lambda z. s s s z)$ $z$ $\lambda z. f f z$ $\lambda z. (f f) z$ $\lambda z. f (f z)$ : iki bağımsız değişken işlevi, ilk bağımsız değişkeni alan ve ikinci bağımsız değişkeni alan ve sonucu döndüren yeni bir tek bağımsız değişken işlevi döndüren tek bağımsız değişken işlevi olarak uygulanır.

Kilise rakamlarını tanımlarken de aynı hatayı yaptınız. için Kilise sayısı, kez bir işlev oluşturmaya dayanır . “Fonksiyon uygulanan fonksiyonu katı ” $n$ $n$ $s$ $n$ $z$ $\lambda s. \lambda z. s (s ( … s \: z) … ))$ $s$ $n-1$ $s$ $z$

$2 \times 3$ $(\lambda m n s. m (n s)) (\lambda s z. s (s \: z)) (\lambda s z. s (s (s \: z)))$ $\lambda s z. s (s (s (s (s (s \: z)))))$

— Gilles 'SO- şeytan olmayı bırak'
kaynak

Paragrafınıza gelince, haklısınız ve bunun farkındaydım. Sadece doğru çağrışımcılığın uygulanmasının doğru sonucu verdiğine dikkat çekti. İkinci paragrafa kadar: haklısın. Hiçbir diş teli kullanmama, uygulamanın sol birlikteliği nedeniyle benim için yanlıştı. Şimdi her şeyi tekrar azaltacağım ve diş teli eksikliğimin hataya neden olup olmadığını göreceğim!

— codd

O yaptı. Gösterimin yanlış uygulama sırasını ima ettiğini fark ettiniz, sorunu çözdünüz! Cevabınızı kabul ediyorum.

— codd