Relativizasyon neden bir engeldir?

Baker-Gill-Solovay'ı açıklayabildiğimde, sahip olabileceğimiz bir kehanetin, ve var olabileceğimiz bir kahin olduğunun bir arkadaşıma, bu tür tekniklerin neden problemini ispatlamak için uygun olmadığına dair bir soru geldi ve tatmin edici bir cevap veremedim.$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Daha somut ifade etmek gerekirse, i ispatlamak için bir yaklaşımım varsa ve yukarıdaki gibi bir durumun ortaya yapabilirsem, neden yöntemimi geçersiz ?$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Bu konuyla ilgili herhangi bir açıklama / düşünceniz var mı?

Daha somut ifade etmek gerekirse, P ≠ NP'yi ispatlamak için bir yaklaşımım varsa ve yukarıdaki gibi bir durumun gerçekleşmesi için oracles inşa edebilirsem neden yöntemimi geçersiz kılıyor?

İkincisi “if” nin bir koşul olmadığını unutmayın, çünkü Baker, Gill ve Solovay zaten böyle bir kehanet inşa etti. Sadece matematiksel bir gerçektir (1) P = NP ile ilgili bir kehanet vardır ve (2) P ≠ NP ile ilgili bir kehanet vardır.

Eğer kanıtlamak için bir yaklaşım varsa P ≠ NP ve aynı ispat eşit daha güçlü bir sonuç olacağı konusunda bu araç “P ^A ≠ NP ^A tüm kahinleri A ” ise yaklaşımınız onu (1) ters düşeceğini çünkü başarısız olmaya mahkûmdur.

Başka bir deyişle, P ≠ NP'yi kanıtlamak ile örneğin zaman hiyerarşisi teoremini kanıtlamak arasında bazı temel farklar vardır, çünkü ikincisinin kanıtı sadece köşegenleştirmeyi kullanır ve göreceli olan herhangi bir dünyaya eşit şekilde uygulanabilir.

Tabii ki, bu P ≠ NP için bir kanıt olmadığı anlamına gelmez. Böyle bir ispat (varsa) yukarıda belirtilen daha güçlü sonucu ispat edemez. Başka bir deyişle, ispatın bir kısmı rölatif olmayan dünyayı keyfi göreceli dünyalardan ayırmak zorundadır.

Zaten iyi cevaplar var, ancak birkaç küçük nokta eklemek istiyorum.

Problemleri çözecek bir tekniğimiz olduğunu varsayın, örneğin köşegenleştirme . Tekniğin belirli bir sorunu çözemediğini göstermek istediğimizi varsayalım, örneğin vs. . Bunu nasıl gösterebilirim?$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Daha ileri gitmeden önce, köşegenleştirme gibi bir tekniğin burada resmi bir kavram olmadığını unutmayın (bunu yapabiliriz). Dahası, tekniğin sorunu kendi başına çözemediği gerçeği, sorunu çözmek için hiçbir zaman sorunu çözmediği anlamına gelmez, sorunu değiştirebilir ve / veya sorunu çözmek için diğer tekniklerle birleştirebiliriz.

Şimdi, soruya geri dönelim. Bir tekniğin belirli bir sorunu çözemediğini göstermenin bir yolu, eğer başka bir sorunun çözümü için farklı bir çerçevede çalışabileceğini ve bu durumda alacağımız cevabın yanlış olacağını göstermektir. Burada olan şey bu. Köşegenleştirme 'i den , aynı argüman tüm için dan ayırmak için kullanılabilir . Ama biz bu sahte olacak şekilde bir kahin (herhangi bir alacak olduğunu biliyoruz kahin olarak -tamamlamak problemi). Bu yüzden köşegenleştirme 'i den .$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP^A}$$\mathsf{P^A}$$A$$\mathsf{PSpace}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Bu argümandaki asıl nokta bir tür aktarma ilkesidir :

TM için köşegenleştirme argümanını, kâhili olan TM'lere kehanet olmadan aktarabiliriz.

Burada mümkündür çünkü köşegenleştirme argümanları makinelerin simülasyonuna dayanır , ayrıca simülasyon makinelerin içlerine bağlı değildir, sadece bu simülasyonların son cevaplarına bağlıdır. Bu tür köşegenleştirme, basit köşegenleştirme olarak adlandırılır . Bir simülasyonda, makinenin nasıl çalıştığı önemli değil, sadece makinenin son cevabını önemsiyoruz. Bir kehanet eklemek bunu değiştirmeyecek, bu nedenle simülasyon ve tartışma argümanlarımızın olduğu çerçevede de çalışacaktır.

Daha resmi olarak, köşegenleştirme argümanını bir makine sınıfından (say ) bir makinenin bir problemi çözemediğini gösteren örneklere ( deyin ) gösteren bir işlev olarak düşünebiliriz . Bu karşı örnek örnek işlevi köşegenleştirme işlevidir. Verdiği karşı örnekler, makinelerin iç kısımlarına bağlı değilse, köşegenleştirme basittir, yani eğer iki polinom zaman DTM'si aynı dile sahipse , köşegenleştirme fonksiyonu tarafından verilen çözemediğini gösteren karşı örnek aynıdır.$\mathsf{P}$$SAT$$SAT$

Bunun büyük bir kısıtlama olup olmadığını merak edebilirsiniz? Örnek örneğin neden makinenin iç yapısına bağlı olması gerekir? Basit köşegenleştirme ile kanıtlanamayan köşegenleştirmeyi kullanarak ayrılıkları kanıtlayabilir miyiz? Cevap Evet. Aslında, Kozen, 1978 tarihli makalesinde, "Özyinelemeli sınıfların endekslenmesi" (BGS sonucundan 3 yıl sonra), eğer den ayrılabiliyorsa, bunun için genel bir köşegenleştirme argümanı olduğunu gösterir. Ve pratikte bu tür argümanlar bulundu. Örneğin, Fortnow ve van Melkebeek'in SAT (2000) için zaman alanı alt sınırları, basit olmayan bir köşegenleştirme sağlayan dolaylı köşegenleştirme adı verilen bir teknik kullanır .$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Öyleyse, köşegenleştirmenin vs. yanlış mı? Genel olarak, burada uzmanların köşegenleştirme ile kastettiği basit köşegenleştirmedir ve bunun için iyi bir neden vardır.$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Genel köşegenleştirme argümanları o kadar geneldir ki, onlara teknik olarak adlandırmanın pek bir anlamı yoktur, herhangi bir ayırma argümanını çok fazla bir içgörü olmadan kolaylıkla bir köşegenleştirme argümanına dönüştürebilirsiniz: Zaten iki karmaşıklık sınıfını ayırmanın bir yolunu varsa, biz daha küçük olanlarda değil daha büyük sınıfta bir işlev seçebilir. Makinelerin numaralandırmasını daha küçük sınıfta yapın. numaralandırmadaki herhangi bir makine olsun . için karşı örnek tanımlamalıyız . Ancak, sorunu çözemediğini zaten biliyoruz , bu yüzden bunu gösteren bir örnek var , köşegenleştirme fonksiyonunun değerini tanımlayın.$M$$M$$M$$M$Bu örnek olmak için. Kozen gazetesinin detaylarını görmek istiyorsanız bu büyük resim görünümü.

Yazlık:

• Uzmanlar "köşegenleştirme vs. " , " basit köşegenleştirme genel değil " basit köşegenleştirme vs. " .$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$
• Basit köşegenleştirmenin 'i den , çerçevelerle aktarılmasıdır (literatürde "diyagonalleşme göreceli" olarak ifade edilmiştir) ve ayrılık burada yoktur.$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$
• Kanıtsız çerçeveden kanatlarla çerçeveye bu transferin işe yaramasının sebebi, basit köşegenleştirmenin TM'lerin kara kutu benzetimine dayanmasıdır ve makinelerin bir kâhip olup olmadığının önemi yoktur.

Köşegenleştirme hakkında daha fazla bilgi edinmek için iki iyi bildiri

• Lance Fortnow'un anket çalışması "Köşegenleştirme", 2001 ve
• Russell Impagliazzo Valentine Kabanets ve Antonina Kolokolova kağıt "Algebrization An Aksiyomsal Yaklaşım", 2009. (yani Not algebraization bir uzantısıdır basit Hamiltonieninin .)

Let ve , iki karmaşıklık sınıfları olsun. Bir ayırma ( ) veya çöküşünün ( ), tüm oracles için varsa veya . Baker-Gill-Solovay kanıtı bize veya akraba olmadığını söyler .$\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{A} \neq \mathrm{B}$$\mathrm{A} = \mathrm{B}$$\mathrm{O}$$\mathrm{A}^\mathrm{O} \neq \mathrm{B}^\mathrm{O}$$\mathrm{A}^\mathrm{O} = \mathrm{B}^\mathrm{O}$$P = NP$$P \neq NP$

Bu neden bir problem? Bu kanıt ortaya çıktığında, herhangi bir kâhinle ilgili olarak çalıştıkları için karmaşıklık sınıflarını 'görecelendikleri' ayırmak ya da daraltmak için bildiğimiz teknik ve püf noktalarının çoğu. Örneğin, zaman hiyerarşisi teoremi (ve bunun uzaysal ve klasik olmayan versiyonlarının yanı sıra) 'görecelendikleri': bu ayrılmanın göreceli olduğu sınıflar için ayrılıklar kanıtlarlar ve aslında, ayrılmanın, Herhangi bir kehanet.

Bir teknik veya hile mevcut bir kehanet olup olmadığına bakmaksızın çalışırsa , yukarıdaki argümanla muhtemelen veya olduğunu kanıtlayamaz . Bunun anlamı, bildiğimiz çok sayıda numara ve teknik bu problem üzerinde (ya da aslında pek çok açık problemde) çalışmaz. Ayrıca, herhangi bir kanıtı için akıl sağlığı kontrolü olarak da kullanabilirsiniz : fikrin bir -compile oracle varlığında tutulmadığını kontrol edin - hala çalışıyorsa, o zaman yanlıştır.$P = NP$$P \neq NP$$P \neq NP$$\mathrm{PSPACE}$