Evrensel analog hesaplama için neler gerekir?

Herhangi bir keyfi analog hesaplama yapmak için hangi işlemlerin yapılması gerekir ? Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yeterli olur mu?

Ayrıca, analog hesaplama kullanarak hangi problemlerin izlenebilir olduğunu tam olarak biliyor, ancak dijitalle değil?

Ne yazık ki, analog hesaplamada "evrensel" bir evrensellik kavramı yoktur. Bununla birlikte, Delvenne'nin bu makalesi , ayrık (örneğin Turing Makineleri) ve sürekli (örneğin diferansiyel denklemler) dinamik sistemlerde evrensellik için birleştirici bir formalizm öneriyor ve literatürde incelenen bazı evrensel sistemleri gözden geçiriyor . Dinamik bir sistemin evrenselliğini kanıtlamak için prosedürü gayri resmi olarak açıklayan makaleden bir alıntı:

Ancak matematik ve fizikte incelenen dinamik sistemlerin çoğunun sayılamayan bir durum alanı vardır, örneğin hücresel otomata, diferansiyel denklemler, parçalı doğrusal haritalar, vb. Bu sistemlerin örnekleri evrensel olarak kanıtlanmıştır. Durma problemleri Turing makinesinden aşağıdaki şekilde taklit edilir. İlk devletlerin belirli bir sayılabilir ailesini ve nihai devletlerin sayılabilir ailesini veya son devlet kümelerini seçiyoruz. Daha sonra, durdurma problemine bir başlangıç ​​durumu ve bir nihai durum / durum kümesi verilir, başlangıç ​​durumundan başlayan yörüngenin nihai duruma / durum kümesine ulaşıp ulaşmayacağı. Daha spesifik örnekler Bölüm 7'de verilmiştir.

Jean-Charles Delvenne, Evrensel bilgi işlem makinesi nedir ?, Uygulamalı Matematik ve Hesaplama, Cilt 215, Sayı 4, 15 Ekim 2009, Sayfa 1368-1374

Ne tür hesaplamalardan bahsettiğimizi bilmedikçe sorunun cevaplanabileceğini sanmıyorum.

Bir sınıflama sınıfı olan bir makine modelinin evrenselliği, bu sınıftaki herhangi bir hesaplamanın bir makine tarafından hesaplanabileceği anlamına gelir. "Keyfi analog hesaplamalar" sınıfını tanımlamazsanız, onlara evrenselliğin ne olduğunu cevaplayamayız.

Şimdi, listeledik işlevleri yalnızca yapamazsın gibi bile hesaplamak basit fonksiyonları, size polinomları ve reel fonksiyonların oldukça küçük bir sınıftır onların bölüm verecektir , ⌊ x ⌋ , $2^x$$\lfloor x \rfloor$ , ... onları kullanarak.$\sqrt x$

Sorunuz, bir başlangıç ​​durumundan başlayarak bir süre içinde başka bir duruma ulaşacak fiziksel sistemler varsa ve bu her zaman hesaplanabilirse, cevap ne tür bir fizikten bahsettiğimize ve kurmanın ne anlama geldiğine bağlıdır. bir başlangıç ​​yapılandırması ve sonucu gözlemleme vb.

Sadece klasik fizik hakkında matematiksel olarak konuşuyorsak (herhangi bir başlangıç ​​konfigürasyonunu sonsuz hassasiyete ayarlayabiliriz ve konfigürasyonu kurmak ve sonucu gözlemlemek için gereken enerji gibi şeyler hakkında herhangi bir dikkate almadan matematiksel bakış açısından benzerdir) o zaman biliniyordu uzun zamandır hesaplanabilir fonksiyonlar ile ilgili diferansiyel denklemler olduğu için çözümleri hesaplanamaz, bakınız Marian B. Pour-El ve J. Ian Richards, " Analiz ve Fizikte Hesaplanabilirlik ", 1989.

İlginç bir durum, n-vücut problemi hesaplanabilir ise (ve doğru hatırlıyorsam cevap hayır, en azından ).$n>4$

Genel olarak, sadece gerçek sayılar hakkında tipik bilgi tipolojileri ile sürekli olmayan bir işlev veren iki gerçek sayının eşitliğini kontrol edebilirsek ve bu nedenle bir Turing makinesinin herhangi bir işlevi (daha yüksek tip fonksiyonlar dahil) nedeniyle bir Turing makinesi tarafından hesaplanamazsa hesaplamak süreklidir (bilgi topolojisi olmadan).

TL; DR: Eğer “analog bilgisayarlar” derken, diferansiyel analizörleri kastediyorsanız , cevap toplayıcılar, sabit birimler ve entegratördür. Bournez, Campagnolo, Graça ve Hainry, 2006 yılında ( ödeme duvarı / serbest baskı ), idealize edilmiş bir modelin hesaplanabilir analiz çerçevesinde tüm hesaplanabilir fonksiyonların hesaplanmasına izin verdiğini göstermiştir ve bu model sadece bu 3 üniteye ihtiyaç duymaktadır.

Transandantal fonksiyonlar

$\sin$$\exp$$\log$

Analog hesaplama modelleri

Başkaları tarafından vurgulandığı gibi, “evrensel hesaplama” kavramı, 1930'larda eşdeğer olduğu farklı bilgisayar modellerinde farklı doğal hesaplanabilirlik kavramının bulunduğu analog bilgisayarlarda daha az açıktır ( ayrıntılar için Kilise Turing Tezi'nde Wikipedia sayfasına bakın ) .

Böyle bir evrenselliği tanımlamak için, önce analog hesaplama için iyi bir model tanımlamalıyız ve bu zor bir görevdir, çünkü model idealleştirilmeli ve yararlı olacak kadar doğal olmalıdır, ancak onun idealizasyonu gerçekçi olmayan bir güç vermemelidir. modeli. Böyle iyi bir idealizasyona örnek olarak Turing makinelerinin sonsuz bandı verilebilir. Analog bilgisayarlarla ilgili sorun, Zeno makinesi gibi mantıksız şeyler oluşturmaya izin verebilecek gerçek sayılarla geliyor . Bununla birlikte, bu tür birkaç model literatürde önerilmiş ve kullanılmıştır (GPAC bu cevabın ana konusudur, ancak herhangi bir hiper bilgisayar olmadan aşağıdaki listede tamamlanmaya çalışıyorum ):

• Genel Amaçlı Analog Bilgisayar tarafından tanımlanan (GPAC), Claude E.Shannon 1941 (içinde paywalled pdf ) modellemek için diferansiyel analizörleri . GPAC'ın tanımı son zamanlarda geliştirildi ve bilgi işlem gücü yukarı doğru revize edildi;
• Blum Shub-Smale makinesi reel sayılar ayrık zamanlarda hareket eder. Genellikle hesaplama geometrisinde kullanılan Gerçek RAM modeli ile yakından ilgilidir ;
• $\mathbb R$
• Sinir ağları ;
• Bir Turing makinesi tarafından hesaplanan gerçek sayılara bakan hesaplanabilir analiz .

GPAC modelinin gücü

$\Gamma$$\zeta$$y(t)=\Gamma(t)$uzun zamandır matematikçiler tarafından kullanılan bazı makul hesaplanabilir fonksiyonlar üretemediği için böyle bir analog bilgisayarın “evrensel” olmadığı anlaşılıyordu.

$f$$y(t)$$f(x)$$x$$\gamma$$\zeta$.

Bournez, Graça ve Pouly daha sonra 2013 yılında bu analog bilgisayarların bir Turing makinesini ( büyük bir pdf'nin s.181) verimli bir şekilde simüle edebileceğini ve 2014 yılında P ve NP karmaşıklık sınıflarının bu modelde eşdeğer olduğunu gösterdiler.

Evrensel bir analog sistemin sonsuz bir sinir ağı ile modellenebileceğini önermek faydalı olabilir mi? Başka herhangi bir analog sistem giriş / çıkış değeri, belirli bir işlem için eşleşen sinir ağı ile çoğaltılabilir ve işlemler gerektiği gibi zincirlenebilir mi?

Bu düşünceyi kendi başıma formüle ederken, sonraki bir aramada benzer bir teklif gösterildi:

Ortaya çıkan şey, dijital Turing makinesi yerine sinir ağı modelini içeren analog hesaplama alanına uygulanan Kilise Turing benzeri bir tezdir ( buraya bakın ).

Muhtemelen o zaman ihtiyacınız olan tek şey değeri bir düğümden diğerine taşımak için ilkel işlemlerdir. Bağlantılar arasında oran elde etmek için manşetten artı, eksi ve bölünebilir.

Şimdi zor sorunlara gelince, sinir ağlarının başarılı bir şekilde nerede uygulandığına ya da ayrı bir bilgisayarda uygulandığından dolayı performans göstermeye devam edin.

(ve bu konu hakkında neredeyse meslekten olmayan görüşüm göze çarparsa çok açıktır)