Bir NFA'nın eşdeğer DFA'sının maksimum boyutta olması için şartlar nelerdir?

DFA'ların ifade gücündeki NFA'lara eşdeğer olduğunu biliyoruz; en kötü durumda bize veriyor (ne yazık ki şimdi bu algoritmanın mucit biliyor musunuz) DFAs için NFA'ler dönüştürmek için bilinen bir algoritma da var bizim NFA olsaydı, devletleri devletler. $2^S$ $S$

Sorum şu: En kötü durum senaryosunu belirleyen nedir?

İşte belirsizlik durumunda bir algoritmanın bir çevirisi:

Let bir NFA olabilir. Bir DFA yapısı burada $A = (Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $A' = (Q',\Sigma,\delta',q'_0,F')$

$Q' = \mathcal{P}(Q)$ ,
$F' = \{S \in Q' | F \cap S \neq \emptyset \}$ ,
$\delta'(S,a) =\bigcup_{s \in S} (\delta(s,a) \cup \hat \delta(s,\varepsilon))$ ve
$q'_0 = \{q_0\} \cup \hat \delta(q_0, \varepsilon)$ ,

burada , genişletilmiş geçiş işlevidir . $\hat\delta$ $A$

— Daniil
kaynak

Yorumlar olarak, bir DFA için "açık" bir NFA isteyerek bu Q'yu kurtarabilirsin (açık bir sorun). her zaman bu sorunun P =? NP sorusuna çeşitli şekillerde yakından bağlı olduğunu düşündüm & bunu öneren bazı benzer formülasyonlar var. "sıkıştırılabilir" vs "sıkıştırılamaz" DFA'lar hakkında soru sorduğunuzda, "sıkıştırılamaz" durumunun en düşük olduğu durumda, NFA'nın neredeyse DFA'nın büyüklüğü olacağı gibi. gibi bazı teoremi muhtemelen yoktur "gelişigüzel alınan en DFAs, sıkıştırılamaz olduğu [içine NFA'ler]" dizeleri vb bilgi kuramı Re Kolmogorov karmaşıklığı benzer THM'ler olduğu gibi

— vzn

Yanıtlar:

Bahsettiğiniz algoritmaya Powerset İnşaat adı verilir ve ilk kez 1959'da Michael Rabin ve Dana Scott tarafından yayınlandı.

Sorunuzu başlıkta belirtildiği gibi yanıtlamak için, normal bir dil için maksimum DFA yoktur , çünkü her zaman bir DFA alabilir ve aralarındaki geçişlerle istediğiniz kadar durum ekleyebilirsiniz, ancak orijinal durumlardan biri arasında geçiş olmadan ve yenilerinden biri. Bu nedenle, yeni durumlara başlangıç , bu nedenle otomat tarafından kabul edilen dil değişmeyecektir (çünkü herkes için aynı kalacaktır ) . $q_0$ $\hat\delta(q_0,w)$ $w\in\Sigma^*$

Yani bir NFA üzerinde hiçbir koşullar söz konusu olabilir açıktır, dedi onun hiçbir olmadığından eşdeğer DFA, maksimal olması eşsiz eşdeğer DFA. Buna karşılık, minimal DFA izomorfizme kadar eşsizdir.

durumlu bir NFA tarafından kabul edilen bir dilin kanonik bir örneği, durumun eşdeğer DFA'sı ile A NFA olan $n+1$ $2^n$

L = {w \in {0, 1}^{*} : | w | \geq n and the n -th symbol from the last one is 1} .

$L=\{w\in\{0,1\}^*:|w|\geq n\text{ and the $n$-th symbol from the last one is 1}\}.$

L

$L$

için

A = ⟨ Q, {0, 1}, δ, q_{0}, {q_{n + 1}} ⟩

$A=\langle Q,\{0,1\},\delta,q_0,\{q_{n+1}\}\rangle$

δ (q_{0}, 0) = {q_{0}}

$\delta(q_0,0)=\{q_0\}$

δ (q_{0}, 1) = {q_{0}, q_{1}}

$\delta(q_0,1)=\{q_0,q_1\}$

δ (q_{i}, 0) = δ (q_{i}, 1) = {q_{i + 1}}

$\delta(q_i,0)=\delta(q_i,1)=\{q_{i+1}\}$

. Olacak bu NFA için Powerset konstrüksiyon uygulanarak elde edilen DFA

tüm temsil etmek gerektiğinden, devletleri

uzunluk kelimeleri

bir kelimenin son ekler olarak

i \in {1, \dots, n}

$i\in\{1,\ldots,n\}$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

L

$L$

— Janoma
kaynak

Bu arada, parantez içindeki köşeli parantezlerin ekranda görünmesini istiyorsanız, \\ {ve \\} tuşlarını kullanın.

— Zach Langley

@ZachLangley Zaten denedim, işe yaramadı :-(

— Janoma

Önizlemede benim için çalışıyor gibi görünüyor. Düzenlemeyi gönderemiyorum, çünkü yalnızca dört karakter ekliyorum ve en az altı. İki ters eğik çizgi kullanıyorsunuz ve işe yaramadı mı?

— Zach Langley

@ZachLangley Şimdi çalışıyor, ancak iki şey var: 1, ilk cevap yazdığımda işe yaramadı. İkincisi, bunun cstheory'deki LaTeX gösteriminin davranışlarıyla tutarsız olduğunu düşünüyorum, ancak hatalı olabilirim.

— Janoma

Elde edilen DFA minimum mu? Bunun minimal olduğunu kanıtlamaktan biraz bahseder misiniz?

— user834

En kötü durum ve alt kümeleri kurşun $2^{s}$ $\{a, b\}$ $a$ $b$ $a$ $b$ $\lambda$ $a$ $b$ $ab$ $\{q_{1}\}$ $\{q_{2}\}$ $\{\}$ $\{q_{1}, q_{2}\}$

— Patrick87
kaynak

— NFA’daki

-1

Bunun, bilgi sınırında bir soru, yani temelde bir araştırma sorusu olduğuna inanıyorum. Hızlı bir google aramasından, çoğunlukla açık görünüyor. Ayrıca, uzun yıllar boyunca bunun önemli olduğuna ve karmaşıklık teorisi alt sınırlarına bağlı olduğuna inandım. Doğrudan istatistiksel bir analizden bahsetmiyorsunuz, ancak sorunuzun ima ettiği şey budur. Bu tür sorulara genel yaklaşımı göstermeye benzeyen DFA'lar / NFA'lar üzerine yapılan istatistiksel çalışmalardan iki örnek. Bu gibi sorularla ilgili temel deneysel araştırmaların hala keşfedilmemiş olduğu anlaşılmaktadır. Kuşkusuz, 2. soru, doğrudan sorunuzla ilgili değildir, ancak şu anki araştırmaları bulabildiğim en yakın şey.

$x$

Bu metrik, kenar yoğunluğu vb. Gibi grafik teorisi ölçümleriyle ilişkili olacaktır. Muhtemelen bazı çok önemli grafik teorisi metriği veya "patlamayı" tahmin eden metriklerin bir karışımı vardır, ancak bu benim için hemen açık değildir. Belki grafik boyama metrikleri veya klik metrikleri gibi bir şey önerebilirim. Ardından metriği, "şişirme" yerine "şişirme" iki gruba karşı test edin.

Şimdiye kadar sorunuzun diğer cevapları sadece bir "havaya uçurma" örneği (bir örnek olay incelemesi için faydalıdır), ancak genel bir metriğin ana konusunu ele almıyor.

Başarılı bir şekilde geliştirilmiş bir ampirik araştırma programına bakmak için başka bir alan SAT geçiş noktası araştırmasıdır. Bu fizik ve termodinamik kavramlarına çok derin bağlantılar geliştirmiştir. Bana da benzer kavramların burada geçerli olabileceği görünüyor. Örneğin, bir analog geçiş noktası tipi metrik bulması muhtemeldir; Muhtemelen kenar yoğunluğu vb. Not Kolmogorov sıkışma teorisine paralel.

Aynı zamanda, NP-tam sorunlarının bir şekilde "zor" - "kolay" durumlarına pek benzemeyenlere karşı "patlayan" NFA'ların da olduğunu düşünüyorum.

Bu sorunu incelemenin bir başka yolu da bir NFA minimizasyonu problemi oluşturmaktır. Yani, bir DFA verildiğinde, son birkaç yıl önce duyduğumun hala açık bir problem olduğunu duyduğum en az NFA'yı bulmak.

[1] Otomat küçültme algoritmalarının performansı üzerine Marco Almeida, Nelma Moreira, Rogério Reis

[2] Otomatları Hiçbir Kelimeyi Tanıma: İstatistiksel Bir Yaklaşım Cristian S. Calude, Cezar Câmpeanu, Monica Dumitrescu

— vzn
kaynak