Bir dilin düzenli olduğu nasıl kanıtlanır?

Orada kanıtlamak için birçok yöntem vardır bir dil düzenli değildir , ama ne bazı dil olduğunu kanıtlamak için yapmam gerekiyor ise düzenli?

Örneğin, nin düzenli olması durumunda, aşağıdaki L following ' nin de düzenli olduğunu nasıl kanıtlayabilirim ?$L$$L'$

$\qquad \displaystyle L' := \{w \in L: uv = w \text{ for } u \in \Sigma^* \setminus L \text{ and } v \in \Sigma^+ \}$

Bunu kanıtlamak için kararsız sonlu bir otomat çizebilir miyim?

Evet, aşağıdakilerden herhangi birini bulabilirseniz:

• deterministik sonlu otomatlar (DFA),
• kararsız sonlu otomaton (NFA),
• düzenli ifade (biçimsel dillerin regexp) veya
• düzenli gramer

Bazı diller için , L normaldir. Orada daha eşdeğer modeller , ancak yukarıdaki en yaygın olanlarıdır.$L$$L$

"Hesaplamalı" dünyanın dışında da faydalı özellikler var. ayrıca normal ise$L$

• bu sonlu

• Düzenli dillerin belirli işlemleri gerçekleştirerek onu inşa edebilir ve bu işlemler vardır düzenli diller için kapalı gibi

  • kavşak,
  • Tamamlayıcı,
  • homomorfizması,
  • ters,
  • sol veya sağ bölüm,
  • düzenli transdüksiyon

  ve dahası veya

• L için denklik sınıflarının sayısı sonlu ise Myhill – Nerode teoremini kullanmak .$L$

Verilen örnekte, baz olarak (normal) bazı kordonlarımız var ve ondan türetilmiş bir L ′ dili hakkında bir şeyler söylemek istiyoruz . İlk yaklaşımı takip ederek - L ′ için uygun bir model oluşturun - istediğimiz L için hangi eşdeğer modeli varsayalım ; L bilinmediğinden elbette soyut kalacaktır . İkinci yaklaşımda, kullanabileceğimiz L doğrudan ve bir açıklama varmak amacıyla kendisine kapatma özelliklerini uygulamak L ' .$L$$L'$$L'$$L$$L$$L$$L'$

İlköğretim yöntemleri

1. Sonlu otomata (muhtemelen boş geçişlerle belirsiz ve mekanik değildir).
2. Düzenli ifadeler.
3. Sağ (veya Sol, ancak ikisi birden değil) doğrusal denklemler, burada K ve L düzenlidir.$X = KX + L$$K$$L$
4. Düzenli (Tip 3) gramer.
5. Düzenli dilleri koruyan işlemler (Boolean işlemleri, ürün, yıldız, karışıklık, morfizmalar, morfizmaların tersi, ters vs.)
6. Sonlu bir monoid tarafından tanınır.

Mantıksal yöntemler (genellikle resmi doğrulamada kullanılır)

1. Monadic ikinci dereceden mantık (Büchi teoremi).
2. Doğrusal zamansal mantık (Kamp teoremi).
3. Rabin'in ağaç teoremi (iki halef ile Monadic ikinci dereceden mantık). Çok güçlü.

Gelişmiş yöntemler

1. Gelişmiş pompalama lemmaları. Bakınız örneğin
   [1] J. Jaffe, Düzenli diller için gerekli ve yeterli bir pompalama lemması, Sigact News - SIGACT 10 (1978) 48-49.
   [2] A. Ehrenfeucht, R. Parikh ve G. Rozenberg, normal kümeler için pompalama leması, SIAM J. Comput. 10 (1981), 536-541.
   [3] S. Varricchio, Normal kümeler için bir pompalama koşulu, SIAM J. Comput. 26 (1997) 764-771.

2. İyi siparişler. Bkz.
   [4] W. Bucher, A. Ehrenfeucht, D. Haussler, Türev ilişkileri ile oluşturulan toplam regülatörlerde, Theor. Comput. Sci. 40 (1985) 131-148.
   [5] M. Kunz, Düzenli Dil Eşitsizliği Çözümleri ve Well Quasi-order .

3. $\mathbb{N}$

4. Dayalı Cebirsel yöntemleri transdüksiyonlarda (ayrıca bkz Operasyonlar düzenli dilleri koruyarak ).

Ran G. tarafından verilen cevap, normal dilleri belirtmek için kullanılabilecek eşdeğer modellerin oldukça kapsamlı bir listesini verir (ve liste devam eder, iki yönlü otomatlar, MSO mantığı, ancak bu, 'daha eşdeğer modeller' altındaki bağlantıyla kaplıdır. '). Raphael'in de vurguladığı gibi, izleyiciyi seçilen temsilin gerçekten de doğru olduğuna ikna etmek için bir tartışmaya ihtiyacımız var.

$\dots$$L$$L'$$L$$L'$

$L'= (\Sigma^* \setminus L) \cdot \Sigma^*$

$L$$L'$

$s$$k$$s$<some property>$k$$k$

$$L_1 \mathop{S} L_2 = \{ x_1y_1 \ldots x_n y_n \in \Sigma^* : x_1 \ldots x_n \in L_1, y_1 \ldots y_n \in L_2 \}$$ $A_i = \langle \Sigma, Q_i, F_i, \delta_i, q_{0i} \rangle$$L_i$$i=1,2$$\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$

• $Q_1 \times Q_2 \times \{1,2\}$$x_i$$y_i$
• $q_0 = \langle q_{01}, q_{02}, 1 \rangle$
• $F = F_1 \times F_2 \times \{1\}$
• $\delta(\langle q_1, q_2, 1 \rangle, \sigma) = \langle \delta_1(q_1,\sigma), q_2, 2 \rangle$$\delta(\langle q_1, q_2, 2 \rangle, \sigma) = \langle q_1, \delta_2(q_2,\sigma), 1 \rangle$

---

$$L^R = \{ w^R : w \in \Sigma^* \}.$$ $(w_1\ldots w_n)^R = w_n \ldots w_1$$L$$\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$$\langle \Sigma, Q', F', \delta', q'_0 \rangle$

• $Q' = Q \cup \{q'_0\}$
• $q'_0$
• $q_0$
• $\delta'(q'_0,\epsilon) = F$$q \in Q$$\sigma \in \Sigma$$\delta(q', \sigma) = \{ q : \delta(q,\sigma) = q' \}$

$q'_0$

---

$$R(L) = \{ yx \in \Sigma^* : xy \in L \}.$$ $L$$\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$$\langle \Sigma, Q', F', \delta', q'_0 \rangle$$q=\delta(q_0,x)$$\delta(q,y) \in F$$\delta(q_0,x) = q$$y$$x$

• $Q' = \{q'_0\} \cup Q \times Q \times \{1,2\}$$q'_0$$\langle q,q_{curr}, s \rangle$$q$$q_{curr}$$s$$y$$x$
• $F' = \{\langle q,q,2 \rangle : q \in Q\}$$\delta(q_0,x)=q$
• $\delta'(q'_0,\epsilon) = \{\langle q,q,1 \rangle : q \in Q\}$$q$
• $\delta'(\langle q,q_{curr},s \rangle, \sigma) = \langle q,\delta(q_{curr},\sigma),s \rangle$$q,q_{curr} \in Q$$s \in \{1,2\}$
• $\delta'(\langle q,q_f,1 \rangle, \epsilon) = \langle q,q_0,2 \rangle$$q \in Q$$q_f \in F$$y$$x$$y$

---

$$E_k(L) = \{ x \in \Sigma^* : \text{ there exists $y \in L$ whose edit distance from $x$ is at most $k$} \}.$$ $\langle \Sigma, Q, F, \delta, q_0 \rangle$$L$$\langle \Sigma, Q', F', \delta', q'_0 \rangle$$E_k(L)$

• $Q' = Q \times \{0,\ldots,k\}$
• $q'_0 = \langle q_0,0 \rangle$
• $F' = F \times \{0,\ldots,k\}$
• $q,\sigma,i$$\langle \delta(q,\sigma), i \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \sigma)$
• $\langle q,i+1 \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \sigma)$$q,\sigma,i$$i < k$
• $\langle \delta(q,\sigma), i+1 \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \epsilon)$$q,\sigma,i$$i < k$
• $\langle \delta(q,\sigma), i+1 \rangle \in \delta'(\langle q,i \rangle, \tau)$$q,\sigma,\tau,i$$i < k$

Bir dil düzenlidir, isteğe bağlı dizgilere, sabit bir bellekten daha fazla bellek kullanarak diline ait olup olmadıklarına karar veren bir tarayıcı yazabilirsiniz - yani tanıma O (1) uzayda yapılabilir.

Düzenli ifade dönüşümü , belirli işlemler altında kapanmayı kanıtlamanın bir yoludur. En basit iki örnek, ters çevrilme ve kapanma altında homomorfizm altındadır .

$r$$L$$L^R$$L$

• $\epsilon^R = \epsilon$$\sigma^R = \sigma$$\emptyset^R = \emptyset$
• $(r_1+r_2)^R = (r_1^R + r_2^R)$$(r^*)^R = (r^R)^*$$(r_1r_2)^R = r_2^R r_1^R$

$(r_1r_2)^R = r_2^R r_1^R$$(0^*1^*)^R = 1^*0^*$$r^R$$L^R$

$h\colon \Sigma \to \Delta^*$$r$$L$$h(L)$$\sigma$$r$$h(\sigma)$

Başka bir yol, kapalı olduklarını bildiğiniz işlemleri kullanarak dili oluşturmaktır. Bu, daha birçok işleminiz olduğu için düzenli bir ifade sergilemenin bir uzantısıdır.