Sendikaların varlığında NFA'lar ve DFA'lar arasında üstel ayrım

Son zamanlarda ilginç bir soru soruldu ve ardından silindi.

Normal bir dil $L$ , DFA karmaşıklığı onu kabul eden minimal DFA'nın büyüklüğü ve NFA karmaşıklığı onu kabul eden minimal NFA'nın büyüklüğüdür. En azından alfabenin boyutu sınırsız olduğunda, iki karmaşıklık arasında üstel bir ayrım olduğu iyi bilinmektedir. Gerçekten de, dil düşünün $L_n$ alfabenin üzerine $\{1,\ldots,n\}$ tüm kelimelerin oluşan değil tüm sembolleri içeren. Myhill-Nerode teoremini kullanarak DFA karmaşıklığını hesaplamak kolaydır $2^n$ . Öte yandan, NFA karmaşıklığı sadece $n$ (birden fazla başlangıç durumuna izin verilirse; aksi takdirde ). $n+1$

İlgili silinen soru karmaşıklığını kapsayan DFA minimal bir dilin şekilde en fazla DFA karmaşıklık dillerinin (ille ayrık değil) birlik olarak yazılabilir . DFA kapsayan karmaşıklığı , sadece . $C$ $L$ $C$ $L_n$ $2$

NFA karmaşıklığı ile karmaşıklığı kapsayan DFA arasında üstel bir ayrım var mı?

regular-languages finite-automata

— Yuval Filmus
kaynak

dilini düşünün; burada yeni bir semboldür. Arasında NFA karmaşıklığı olup . Karmaşıklığı kapsayan DFA'sının olduğunu göstereceğiz. $M_n = \epsilon +(L_n \#)^*L_n$ $\#$ $M_n$ $n$ $2^n$ .

, geçiş fonksiyonu ile dilini kabul eden bir DFA olsun . Bir durum çağrı bazı kelime varsa uygun bir böyle bir kabul eden durumudur. Herhangi iki başarısızlık durumu , izin verin $A$ $L(A) \subseteq M_n$ $q_A$ $s$ $w$ $q_A(s,w)$ $s,t$ Her sözcük kontrol etmek zor değildir şu şekilde yazılabilir bazı uygulanabilir için .

A_{s, t} = {w \in (1 + \dots + n)^{*} : q_{A} (s, w) = t} .

$A_{s,t} = \{ w \in (1+\cdots+n)^* : q_A(s,w) = t \}.$

w \in L (A)

$w \in L(A)$

w = w_{1} # \dots # w_{l}

$w = w_1\# \cdots \#w_l$

w_{i} \in A_{s_{i}, t_{i}}

$w_i \in A_{s_i,t_i}$

s_{i}, t_{i}

$s_i,t_i$

Diyelim ki her biri burada bir DFA olup. , tüm diller tarafından üretilen kafes olsun . Biz görüntüleyebilir bir dil olarak üzerinde , tekabül eden bir iki sembol arasındaki boşluk . Bu bakış açısı altında, $M_n = \bigcup_{i=1}^N L(A^i)$ $A^i$ $P$ $A^i_{s,t}$ $L(A^i)$ $L_P(A^i)$ $P^*$ $\#$ $M_n$ karşılık gelir $P^*$ .

Çağrı genel Bazı için tüm için bu durumda vardır öyle ki . Bazı nin evrensel olduğunu iddia ediyoruz . Aksi takdirde, her bir en fazla $L_P(A^i)$ $x \in P^*$ $y \in P$ $z \in P^*$ $xyz \in L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ $(|P|-1)^l$ $l$ $L_P(A^i)$ $|P|^l$ $l$ $|P|^l \leq N (|P|-1)^l$ $l$ .

$L_P(A^i)$ $A = A^i$ $x' \in P^*$ $x \in M_n$ $y \in L_n$ $z_y \in M_n$ such that $x\#y\#z_y \in L(A_i)$ .

For a subset $S \subseteq \{1,\ldots,n\}$ , let $y_S$ consist of the letters in $S$ written in order. We claim that the words $x\#y_S$ are inequivalent for the Myhill-Nerode relation of $A$ . Indeed, suppose $S \neq T$ and find some $a \in S \setminus T$ (without loss of generality). Then $x\#y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \in L(A)$ while $x\#y_S y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \notin M_n$ . Therefore $A$ must have a least $2^n$ states.

— Yuval Filmus
kaynak