Scott-sürekli fonksiyonlar: alternatif bir tanım

Gerçekten bu özellik ile mücadele ediyorum:

Let olmak tutarlılık alanlarda ve olduğu bir monoton fonksiyonu. , tüm için yalnızca ise$X,Y$$f: Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$$f$$f(\bigcup_{x\in D} x)=\bigcup_{x \in D}f(x)$$D \subseteq Cl(X)$ , öyle ki yönlendirilmiş bir kümesidir.$D$

Yönlendirilmiş küme şu şekilde tanımlanır: POSET$D \subseteq$yönlendirilmiş bir dizi IFF olan ∃ z ∈ D gibi X ⊆ Z ve X ' ⊆ z . C l ( X ) , X'in kısaltmalarıdır: { x ⊆ | X | | A , b ∈ x ⇒ bir koherent b } .$\forall x, x' \in D$ $\exists z \in D$$x \subseteq z$$x' \subseteq z$
$Cl(X)$$\{x \subseteq |X| \mid a,b \in x \Rightarrow a$$b \}$

Birçok kitap bunu Scott'ın sürekli işlevlerinin bir tanımı olarak verir , ama öğretmenim değil. Bize sürekli tanımını verdi:

monoton ve ∀ x ∈ C l ( X ) , ∀ b ∈ f ( x ) , ∃ x 0 ⊆ f i n x , b ∈ f ( x 0 ) , buradamonotonşu şekilde tanımlanır: f a ⊆ ise monotondur$f : Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$$\forall x \in Cl(X), \forall b \in f(x), \exists x_0 \subseteq_{fin} x, b \in f(x_0)$
$f$$a \subseteq b \Rightarrow f(a) \subseteq f(b)$

Bu benim önerdiğim kanıt, ama son denklemi anlayamıyorum.

Kanıtı sürekli ima f ( ⋃ D ) = ⋃ f ( D $f$$f(\bigcup D)=\bigcup f(D)$ :
Let . Süreklilik Tanım olarak, ∃ x 0 ⊂ f ı , n x | b ∈ f ( x 0 ) . Not x 0 birliği olan { x i | x i ∈ D } .$b \in f(\bigcup D)$$\exists x_0 \subset_{fin} x \mid b \in f(x_0)$$x_0$$\{ x_i \mid x_i \in D\}$
Eğer daha sonra doğrudan bir: ∃ z ∈ D | x i ⊆ z sonra x 0 ⊆ z . Monotoni tanımı ile, f ( x 0 ) ⊆ f ( z ) böylece b ∈ f ( z ) (???) ⊆ ⋃ f ( D ) . Ve bu bile doğru ⋃ f ( D ) = f ( ⋃ $D$$\exists z \in D \mid x_i \subseteq z$$x_0 \subseteq z$$f(x_0)\subseteq f(z)$$b \in f(z)$ $\subseteq \bigcup f(D)$ , sadece ⊆ değil.$\bigcup f(D) = f(\bigcup D)$$\subseteq$

Diğer çıkarımın kanıtı daha da kötü, bu yüzden buraya yazamıyorum ... Kanıtın nasıl çalıştığını açıklayabilir misiniz?

Öğretmeniniz tarafından kullanılan süreklilik tanımı daha iyidir. Sürekliliğin ne anlama geldiğini oldukça somut bir şekilde anlatır.

Diyelim ki . Bu, x'in tüm bilgileri , muhtemelen sonsuz bir belirteç kümesi (atomlar) verildiğinde, fonksiyonun atomik bilgi parçasına sahip olan bir element ürettiği anlamına gelir b . (Başka bilgi de olabilir, ancak şu anda bununla ilgilenmiyoruz.) Öğretmeninizin tanımı , çıktı bilgisini üretmek için x'in tüm sonsuz bilgilerine bakmanın gerekli olmadığını söylüyor b . Bazı x'in sonlu altkümesi onu üretmek için yeterlidir.$b \in f(x)$$x$$b$$x$$b$$x$

(Melvin Fitting'in "Hesaplanabilirlik teorisi, anlambilim ve mantık programlama" adlı kitabı, Oxford, 1987, bu özellik kompaktlığını çağırır ve sürekli bir işlevi monoton ve kompakt olarak tanımlar.)

Sürekliliğin özü budur . Bir işlevin çıktısı hakkında sınırlı miktarda bilgi edinmek için, girdiyle ilgili yalnızca sınırlı miktarda bilgiye ihtiyacınız vardır. Sonsuz bir girdi için fonksiyon tarafından üretilen çıktı, sonsuz girdinin tüm sonlu yaklaşımları için ürettiği bilgileri bir araya getirerek elde edilir . Başka bir deyişle, sonlu yaklaşımlardan sonsuz birliklerine kadar sihirli bir sıçrama yapamazsınız. Sonsuzlukta ne olursa olsun, zaten sınırlı bir aşamada olmalısınız.

Standart denklemine bakmak güzeldir , ancak yukarıda açıkladığım tüm sezgiyi size söylemez. Ancak, matematiksel olarak, öğretmeninizin tanımına eşdeğerdir.$f(\bigcup_{x \in D} x) = \bigcup_{x \in D} f(x)$

Olduğunu göstermek için , bu göstermek için yeterlidir f ( x ) dahildir f ( ⋃ x ∈ D x ) , her biri için X ∈ D . Fakat bu doğrudan f'nin monotonluğundan kaynaklanır, çünkü x ⊆ ⋃ x ∈ D x . Yani, bu "kolay" yön.$\bigcup_{x \in D} f(x) \subseteq f(\bigcup_{x \in D} x)$$f(x)$$f(\bigcup_{x \in D} x)$$x \in D$$f$$x \subseteq \bigcup_{x \in D} x$

Öğretmeniniz tarafından kanıtlanan diğer yön ilginçtir: . Bunu görmek için yukarıda bahsettiğim sezgiyi kullanın. Sol taraftaki herhangi bir atom bilgisi b , girişin sonlu bir yaklaşımından gelir: x 0 ⊆ f i n ⋃ x ∈ D x . Yani, b ∈ f ( x 0 ) . X 0'dan beri$f(\bigcup_{x \in D} x) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$$x_0 \subseteq_{fin} \bigcup_{x \in D} x$$b \in f(x_0)$$x_0$sonludur ve yönlendirilmiş kümenin birleşimine dahil edilirse, yönlendirilmiş kümede , belki de x 0'dan daha büyük bir şey olmalıdır . Bu elemente z deyin . Tekdüzeliğe göre, f ( x 0 ) ⊆ f ( z ) . Yani, b ∈ f ( z ) . Yana z ∈ D , f ( Z ) ⊆ ⋃ x ∈ D f ( x ) . Şimdi $x_0$$x_0$$z$$f(x_0) \subseteq f(z)$$b \in f(z)$$z \in D$$f(z) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$sağ tarafta da görülüyor. QED.

Belirttiğiniz gibi, öğretmeninizin sürekliliğinin güzel denklemi ima ettiğini göstermek kolay bir bit. Daha zor olan şey, güzel denklemin, çok fazla söylemiyor gibi görünmesine rağmen, gerçekten öğretmeninizin tanımındaki her şeyi söylediğini göstermektir.

Son yanıtı yazdıktan sonra, öğretmenin yanıtımda açıkladığım süreklilik tanımının topolojik süreklilik nosyonu olduğu gecikti. Cebirsel genellikle Bilgisayar Bilimleri ders kitaplarında belirtilen süreklilik formülasyonu tüm topolojik sezgileri gizler. (Aslında, Scott Scott sık sık topolojik formülasyonlardan kaçındığını yazdı çünkü Bilgisayar Bilimcileri buna aşina değiller.)

Cebirsel ve topolojik formülasyonlar arasındaki bağlantıya Taş dualitesi denir ve şimdi bu bağlantının kendisinin Bilgisayar Bilimi için son derece önemli olduğu giderek daha fazla anlaşılmaktadır.

Bu bağlantıların (ve çok daha fazlasının) kavramsal bir açıklaması için, bkz. Abramsky'nin Bilgi, süreçler ve oyunlar .