'Sıfır-bir' yapboz bulmacalar NP tam mı?

Hafif bir fayans çeşidi ile ilgileniyorum, 'yapboz' bulmacası: (kare) karonun her kenarı den bir sembolle etiketlenmiştir ve iki karo bitişik olarak yerleştirilebilir Bir döşemenin karşılıklı kenarındaki sembol k ve diğer döşemenin karşılıklı kenarındaki sembol ˉ k ise , bazıları k ∈ { 1 … n } için . Daha sonra, bir dizi m 2 karo verildiğinde , bir m × m içine yerleştirilebilirler$\{1\ldots n, \bar{1}\ldots\bar{n}\}$$k$$\bar{k}$$k\in\{1\ldots n\}$$m^2$$m\times m$kare (döndürme ancak fayans saygısız değil) tüm kenarları doğru eşleşen? (Ayrıca dört bu sorunun bir varyantı var 'çerçeveleme' kenarının sağlandığı ve parçaların bu çerçeveye doğru şekilde oturması gereken).$1\times m$

Bu sorunun yeterince büyük için NP-tamamlanmış olduğunu biliyorum , ancak n'de gördüğüm sınırlar oldukça büyük görünüyor; I küçük değerleri için sorun ilgilendiğim n ve özellikle n = 1 , (her kenar ya da duruma 'sıfır-on' durum 0 veya 1 bir ve kenarları 0 ). Burada (dönme simetrisi ile) sadece altı karo tipi (hepsi sıfır karo, hepsi bir karo, üç sıfır ve bir karo, üç ve sıfır karo ve iki sıfırlı iki ayrı karo vardır. ve iki tanesi, '0011' ve '0101'),$n$$n$$n$$n=1$$0$$1$$0$ bir kenarlarına uygun olmalıdır $1$$m$ , T 0001 , T 0011 , T 0101 , T 0111 ve T 1111 (sayımı temsil Her kiremit tipi için) T 0000 + T 0001 + T 0011 + $T_{0000}$$T_{0001}$$T_{0011}$$T_{0101}$$T_{0111}$$T_{1111}$ . Bir çözüm basitçe sergilenip daha sonra polinom (mcinsinden) zamandakontrol edilebildiği içinproblem NP'dedir (m'detekli olarak verilmiştir), ancak NP-tam olduğu biliniyor veya bazı dinamik programlama algoritmaları var mı burada uygulanacak mı? Sorun belirtiminin aynı zamanda karenin eşleştirilecek dört kenarını da içerdiği 'çerçeveli' durum ne olacak? (Çerçevesiz kasa NP-tamamlanmışsa, çerçeveli kasa neredeyse kesinlikle aynıdır)$T_{0000}+T_{0001}+T_{0011}+T_{0101}+T_{0111}+T_{1111}=m^2$$m$$m$

Bu sorunu küçük değerleri için çözmek istediğinizi belirttiğiniz için , bunu bir SAT çözücüsünde veya bir tamsayı doğrusal program (ILP) olarak uygulamayı denemenizi öneririm. Her ikisi de kısıtlamaları kodlayabilir, ancak biraz farklı bir şekilde:$n$

• SAT için, hangi karenin her kareye gireceği seçiminin çok temiz bir kodlaması ve her bir karo türünün sayısı ile ilgili kısıtlamanın biraz daha az temiz bir kodlaması vardır (bit aritmetiği kullanılarak).

• ILP için, mevcut her bir karo türüne ilişkin kısıtlamanın çok temiz bir kodlaması ve karoların birbirine bitişik olabileceği kısıtlamaların biraz daha az temiz bir kodlaması vardır (ancak yine de ifade edilebilir, çünkü ILP'de keyfi boole formüllerini ifade eder).

$n$