Bir grafikteki negatif ağırlık kenarlarının önemi nedir?

Dinamik programlama egzersizleri yapıyordum ve Floyd-Warshall algoritmasını buldum. Görünüşe göre, negatif ağırlık kenarlarına sahip olabilen, ancak negatif döngüleri olmayan bir grafik için tüm çiftleri en kısa yollar bulur.

Peki, negatif ağırlık kenarlarının gerçek dünyadaki önemi nedir acaba? Basit bir İngilizce açıklama yardımcı olacaktır.

Saeed Amiri zaten bir yorumda mükemmel bir örnek verdi: kenarlardaki ağırlık gerçek dünyada herhangi bir şeyi temsil edebilir, örneğin bir hesaptan başka bir hesaba aktarılacak para miktarı. Miktarlar pozitif veya negatif olabilir. Eğer gitmek istiyorsanız Örneğin, karşı b grafiğinizdeki sonra da negatif ağırlıkları dikkate edebilir mümkün (en kısa yolu) gibi daha az para olarak kaybetme iken. Daha fazla bilgi için bu kitap bölümüne bakın .$a$$b$

Bunun dışında çok daha fazla uygulama var. Negatif ağırlıklar, modellemenize bağlıdır. Örneğin, bu grafiği düşünün

• $e_{uv}$$v$$u$$4$$s-a$$2$$a$$t$$5$$s$$t$

• $s$$t$$a$$b$

• $b$$s$$a$$a$$t$$t$$s$

Ben kimya adamı değilim ama yine de bu örneğin işlemci, ağ teorisi ve ilgili şeyleri düşünmenize yardımcı olmaya değeceğini düşünüyorum.

Kimyasal bir reaksiyondaki bir molekülün davranışını simüle eden bir grafiği düşünün, yani reaksiyon sırasında ve ağırlıkların geçiş sırasında emebileceği yolları temsil eder, bu nedenle reaksiyondan enerji almak istiyorsak, salınan enerjiyi + ve ağırlıklar ve absorbe ile temsil ederiz. -ve ile enerji.

Negatif kenar basitçe negatif ağırlığa sahip bir kenardır. Grafiğe ve kenarlarının neye işaret ettiği herhangi bir bağlamda olabilir. Örneğin, yukarıdaki grafikteki kenar CD'si negatif bir kenardır. Floyd-Warshall mümkünse grafiğin her çifti arasındaki ağırlığı en aza indirerek çalışır. Yani, negatif ağırlık için hesaplamayı pozitif ağırlık kenarlarında yaptığınız gibi yapabilirsiniz.

Sorun, negatif bir döngü olduğunda ortaya çıkar. Yukarıdaki grafiğe bir göz atın. Ve kendinize şu soruyu sorun - A ve E arasındaki en kısa yol nedir? İlk başta ABCE'sinin 6 (2 + 1 + 3) olduğunu düşünebilirsiniz. Ama aslında, daha derin bir bakışla, BCD olan negatif bir döngüyü gözlemlersiniz. BCD'nin ağırlığı 1 + (- 4) +2 = (-1) 'dir. A'dan E'ye geçerken, her seferinde maliyetimi 1 azaltmak için BCD içinde bisiklet sürmeye devam edebilirim. Mesela, A (BCD) yolu BCE'nin maliyeti 5 (2 + (- 1) + 1 + 3). Şimdi döngüyü sonsuz kez tekrarlamak, her seferinde maliyeti 1 oranında azaltmaya devam edecektir. A ve E arasında negatif sonsuz bir en kısa yol elde edebilirim.

Sorun, grafikteki herhangi bir negatif döngü için açıktır. Bu nedenle, negatif bir döngü olduğunda, minimum ağırlık tanımlanmaz veya negatif sonsuzdur, bu nedenle Floyd-Warshall böyle bir durumda çalışamaz.

Ek olarak, bir grafiğin negatif döngüye sahip olup olmadığını tespit eden ve aksi takdirde iki düğüm arasındaki en kısa yolu döndüren Bellman-Ford Algoritmasına bakmak isteyebilirsiniz .

Örneğin, bir kenar ij'nin w (i, j) ağırlığının, köşe i'den köşe j'ye gitmenin maliyeti olduğu bir lojistik ağ düşünün. Ürünlerini taşımak için diğer şirketlerle iş anlaşması yaptıysanız, w (i, j) maliyet yerine kâr olur, bu nedenle bu ağırlığı negatif bir maliyet olarak yorumlayabilirsiniz.

Haritadaki trafik sıkışıklığı:

Ağırlıkları bir kenarla ilişkilendirmenin bir başka gerçek dünya örneği, ağırlıklar bir haritadaki trafik koşullarını (daha olumsuz, daha olumsuz) temsil edebilir - bu temsili en uygun mesafeleri hesaplamak için kullanabiliriz.

Bir grafikteki herhangi iki nokta arasında pozitif / negatif değerli herhangi bir şeyi temsil etmek için gerçekten "ağırlık" metaforunu kullanabiliriz