Kolmogorov-Karmaşıklık tanımlarının denkliği

Kolmogorov-Karmaşıklığını tanımlamanın birçok yolu vardır ve genellikle tüm bu tanımlar bir katkı sabitine eşittir. Eğer ki ve Kolmogorov karmaşıklığı fonksiyonlardır (farklı dil ya da modeller aracılığıyla tanımlanır), sonra bir sabiti vardır öyle ki her dize için , . Bunun her Kolmogorov karmaşıklık fonksiyonu ve her için , bazı sabitler için . $K_1$ $K_2$ $c$ $x$ $|K_1(x) - K_2(x)| < c$ $K$ $x$ $K(x) \le |x| +c$ $c$

Turing-machines'e dayalı için aşağıdaki tanımlarla ilgileniyorum $K$

durumların sayısı : tanımla en az bir sayı olarak bu şekilde olan bir TM ülkelerin çıkışları boş dize. $K_1(x)$ $q$ $q$ $x$
Programın uzunluğu : Define çıkışlar olduğunu en kısa "programı" olmayı . Yani, TM'leri ikili dizelere kodlamanın bir yolunu düzeltin; bir makine için (ikili) kodlaması . en az tüm burada 'bu çıkış s boş girişe. $K_2(x)$ $x$ $M$ $\langle M \rangle$ $K_2(x) = \min |\langle M \rangle|$ $M$ $x$

Are $K_1$ ve $K_2$ eşdeğer? Aralarındaki ilişki nedir ve eğer eşdeğer değilse Kolmogorov karmaşıklığı kavramını daha iyi kavrar.

Özellikle beni rahatsız eden şey, $K_2$ ile artış , bu da süper doğrusal değildir (veya en azından sabitiyle doğrusaldır, öyle ki yerine ). En basit TM düşünün çıkışları o - Bir bu sadece kodlar onun devlet ve geçişler işlevinin bir parçası olarak. hemen olduğunu görürsünüz . Ancak aynı makinenin kodlaması çok daha büyük ve elde ettiğim önemsiz sınır . $x$ $C>1$ $K_2 < C|x|$ $|x|+c$ $x$ $x$ $K_1(x) \le |x|+1$ $K_2(x) \le |x|\log |x|$

computability kolmogorov-complexity

— Ran G.
kaynak

durumuna sahip makine vardır ve ortalama boyutları en az , bu nedenle bunların yalnızca bir katkı sabitiyle farklılık göstermesi olası değildir.

2^{n^{2}}

$2^{n^2}$

n

$n$

n^{2}

$n^2$

— Kaveh

İyi olarak bağlanan şey bilinmektedir olduğubazı sabit için bağlı değildir . Bunun nedeni , her bitini ikiye katlayıp ile biterek öneksiz bir dile kodlayabilmemizdir . Bu bitleri temsil etmek için . Bu nedenle, evrensel makine açısından tanımlandığından, bazı sabit . Bu, öneksiz bir dile kodlamak için daha akıllı bir yol kullanarak geliştirilebilir .

K_{2} (x) \leq c + 2 | x |

$K_2(x) \leq c + 2|x|$

c

$c$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

01

$01$

2 | x | + 2

$2|x| + 2$

x

$x$

K_{2}

$K_2$

K_{2} (x) \leq 2 | x | + 2 + c^{'}

$K_2(x) \leq 2|x| + 2 + c'$

c

$c$

x

$x$

— Carl Mummert

Nasıl olduğunu göremiyorum. Ya görünüyor (ham veri olarak) kodlama parçası olarak verilir, ya da inşa etmek zorunda sizin devlet makine tarafından. İlk seçenek hile gibi görünüyor ve ikinci seçenekle ( anlamına gelir ) nasıl karşılaştırılabilir göremiyorum

x

$x$

x

$x$

K_{1}

$K_1$

— Ran G.

@Ran G .: Kilit nokta en.wikipedia.org/wiki/Invariance_theorem adresinde açıklanan değişmezlik teoremidir . Büyüme oranıevrensel bir Turing makinesi ( için ) bunu bir katkı sabiti içinde karşılayacaktır. Genel makine alır biridir

giriş ve döner çıktısı olan

ise

durur.

2 | x |

$2|x|$

K_{2}

$K_2$

⟨ M ⟩

$\langle M\rangle$

M

$M$

M

$M$

— Carl Mummert

Çok fazla ayrıntı verdiğim için şimdiden özür dilerim, ama insanlarla çelişmek üzereyim.

Hakkında $K(x)≤K'(x)+c$

Aslında genellikle gelen tercüman açıklama dili 1. ve içine açıklama dili # 2 değil # 1 programlara # 2'nin programlarından bir çevirisinden. $K_1(x)≤K_2(x)+c$

Örneğin ve bu eşitsizliği şu şekilde elde edersiniz: $K_\mathtt{C}(x)≤K_\mathtt{Python}(x)+c_\mathtt{py2c}$

void py_run(char * s) {
    // code of your Python interpreter
}

int main(void) {
    py_run("Put here your Python program of size Kpython(x)");
}

Sonra sürekli gibi bir şey olacak bu kodu bit ve sayısıdır bit yalnızca olası içinde ne yorumlamak gerekir Tabii ki resmi Python yorumlayıcısı C ile yazılmış boyutudur 69 MB'den daha iyi yapabilmeniz için Python için açıklama dilinizi yazın :-) $c_\mathtt{py2c}$ $528+490240688$ $528$ $490240688$

Önemli olan Python programınızı doğrusal olarak C kodunuza yazabilmenizdir . Örneğin, her karakter arasına "BANANA" koymanız gereken bir dil çok iyi bir açıklama programı değildir ve özellik yanlıştır. (Ancak açıklama dili size ayrı bir dosyaya veya bir bloğa veri yazma yetkisi verirse, bu sorun kaybolur)

neden kusurlu? $K_1(x)=q$

tanımınızla ilgili sorun, geçişleri kodlamanız gerektiğinden durumlu bir Turing makinesini tanımlamak için bitten fazlasına ihtiyacınız olabilir . $K_1$ $q$ $q$

Hiçbir Yani ve muhtemelen eşdeğer değildir, ancak esas olarak, 'in hatası. Hepimizin için ispat düşünüyorum bir var şekilde . Tabii ki, herhangi , geçerli bir fonksiyon olmadığı gerçeğini kanıtlamak için yeterlidir , çünkü bu, olası uzunluk dizesinin tümünü daha fazla kodlayabileceğimiz anlamına gelir. $K_1$ $K_2$ $K_1$ $a>0$ $c_a$ $K_1(x)≤a|x|+c_a$ $a<1$ $K_1$ $2^n$ içine bit. $n$ $an+c_a$

Ancak Turing makineleri inşa ederken boyut inanılmaz derecede sıkı bir sınır. Fikir, bir durum bloğunda, her bir durum için geçişleri bulmanın yolları olduğu ve bitlerini doldurabileceğiniz normal yollarından daha iyi olmasıdır . Sonra her blok içinde saklayabilirsiniz bilgilerinin bit. ( çünkü bloğu bir şekilde girip çıkarmanız gerekir) $b$ $b^{2b}$ $2^b$ $b$ $\log_2 b$ $2\log_2 b$

Yani evet ... büyüklüğündeki bloklarla muhtemelen . Ama zaten devlet sayısının neden geçerli bir Kolmogorov karmaşıklık fonksiyonu olmadığı hakkında çok fazla yazdım. Eğer detaylandırmamı istiyorsan, yapacağım. $2^{1/a}$ $K_1(x)≤a|x|+c_a$

Şimdi $K_2$

Saf tanımlayıcı dil kabaca (yani her bir sonraki durum için ve yazma ve sonlandırma ile ilgili ayrıntılar). $K_2(x)=q\cdot 2 \cdot (\log_2 q + 2)$ $\log_2q$

Eğer gibi görünüyor, ben, belki bir devlet ise olmadığını söylüyor açıklama dilinde bir ikili etiketi ekleyerek daha iyi / dolandırıcı yolu encode Turing makinesinin içine "veri" yetkilendirmek olacağını ikna ediyorum veri devlet ( sadece biraz yazar ve bir sonraki duruma gider) veya başka bir şey yaparsa. Bu şekilde size bir bit depolayabilir Açıklayıcı dil biri birazdan. $x$

Ancak aynı tutarsanız, birkaç bit kaydetmek için önceki bölümde kullandığım tekniği kullanabilirsiniz, ancak (herhangi ) .. belki daha az , hatta, ama elde etmek zor görünüyor. (Ve ben olması gerektiği bekliyoruz , hatta $K_2$ $K_2(x)≤a|x|\log|x|+c$ $a>0$ $\log|x|$ $O(|x|)$ $|x|$ .) $O(|x|)$

— jmad
kaynak

kolmogorov-karmaşıklık fonksiyonu olmadığını iddia ediyor musunuz? Bu benim için çok şaşırtıcı, çünkü

aslında bir zamanlar aldığım hesaplanabilirlik dersine bazı girişimlerde kullanılan tanımdır (doğruluğu hakkında bir şey söylemediğinden değil).

K_{1}

$K_1$

K_{1}

$K_1$

— Ran G.

Peki

oldukça rahatsız edicidir. Bunu düşünün:

bit

olası kelime vardırve bunları kullanarak bir kodlayabilirsiniz

K_{1} (x) \leq \frac{1}{2} | x | + c

$K_1(x)≤\frac12|x|+c$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

bit? Bu

\frac{1}{2} n + c

$\frac12n+c$

(siz kodlamanın

2^{n} = O (2^{\frac{1}{2} n})

$2^n=O(2^{\frac12n})$

— yerinde

Python programında C tarafından ayrılmış karakterler varsa ne olur?

— PyRulez

Kolmogorov-Karmaşıklık tanımlarının denkliği

Hakkında K(x)≤K′(x)+cK(x)≤K′(x)+cK(x)≤K'(x)+c

neden kusurlu?K1(x)=qK1(x)=qK_1(x)=q

Şimdi K2K2K_2

Hakkında $K(x)≤K'(x)+c$

neden kusurlu? $K_1(x)=q$

Şimdi $K_2$