Bir dilin düzenliliği hakkında yeterli ve gerekli bir koşul

Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

1. bir dilin düzenliliği ile ilgili yeterli ve gerekli koşullar mevcuttur ancak henüz keşfedilmemiştir.

2. Bir dilin düzenliliği hakkında yeterli ve gerekli bir koşul yoktur.

3. Lemma pompalamak, bir dilin düzensizliği için gerekli bir koşuldur.

4. Lemma pompalamak, bir dilin düzensizliği için yeterli bir koşuldur.

Biliyorum # (4) doğru ve # (3) yanlış çünkü "bu ifadenin tersi doğru değil: bu koşulları sağlayan bir dil hala normal olmayabilir", ama (1) hakkında ne söylenebilir ve (2)?

İşte bir dilin düzenli olması için gerekli ve yeterli koşullar.

Teorem. Let . Aşağıdaki koşullar denktir:$L\subseteq\Sigma^*$

• $L$ , düzenli bir ifade ile üretilir (yani, normal dilin tanımı).
• $L$ , belirsiz olmayan bir sonlu otomat ( Kleene ) tarafından tanınır .
• $L$ geçişleri olmayan belirsiz bir sonlu otomat tarafından tanınır.$\varepsilon$
• $L$ , deterministik bir sonlu otomat ( Scott ve Rabin ) tarafından tanınır .
• ( N , Σ , P , S ) N Σ $L$ , bir dilbilgisi tarafından üretilir ; burada , nin sonlu bir alt kümesidir ( Frazier ve Sayfa ).$(N,\Sigma,P,S)$$N$$\Sigma^*$
• $L$ , sol (sırasıyla sağ) düzenli bağlamsız dilbilgisi tarafından oluşturulur.
• Nerode ilişkisinin endeksi sonludur (Anil Nerode, Doğrusal otomat dönüşümleri , 1958). Bu yaygın (ve yanlış) Myhill-Nerode teoremi olarak bilinir. , normal bir dilin en düşük oluşturmak için kullanılan ilişkidir.≡ $\equiv_L$$\equiv_L$
• Myhill ilişkisinin dizini sonludur (John Myhill, Sonlu Otomata ve Olayların Temsili , 1957). , rasgele bir dilin sözdizimsel oluşturmak için kullanılan ilişkidir.∼ $\sim_L$$\sim_L$
• nin sözdizimsel monoidleri sonludur (Myhill'in sonucunun sonucu). Burada sözdizimsel monoid, ilişkisi kullanılarak tanımlanmanın yanı sıra, bir homomorfizmin olarak tanıyan minimal bir monoid (boyut olarak) olarak tanımlanabileceğini .∼ L$L$$\sim_L$$L$
• $L$ , salt okunur bir Turing Makinesi (önemsiz) tarafından tanınabilir.
• $L$ , dizeler üzerinden Monadic ikinci dereceden mantıkta ( Büchi ) bir formülle tanımlanabilir .

Bir dil yoksa değil koşullarını karşılayan düzenli diller için pompalama Lemma , o zaman olduğu değil düzenli. Bu, lemma pompalamanın bir dilin düzenli olmaması için yeterli bir koşul olduğu anlamına gelir .

Özetle, ifade 1, 2 ve 3 yanlıştır, ifade 4 de belirttiğiniz gibi doğrudur.

(1) ve (2) 'yi çürüten bir dilin düzenli olduğunu kanıtlamak için bir DFA, NFA veya düzenli ifadenin varlığını göstermek yeterlidir (ve gereklidir). Bir dilin normal olmadığını göstermek için bir DFA, NFA veya normal ifadenin olmadığını göstermek gerekir.

Pompalama lemusu, herhangi bir DFA'nın mevcut olmadığını göstererek (muhtemelen çelişkiyle) bir dilin düzenli olmadığını göstermek için yararlı bir araçtır.

$L$$L$

Bu durum, bir dilin düzensizliğini kanıtlamayı tam olarak kolaylaştırmaz. Her zaman normal olmayan bir dilin düzensizliğini kanıtlayan, kontrol edilmesi kolay koşulların farkında değilim.

Bir dilin düzensizliğini kanıtlayabilen iki 'test' daha var (işe yaramayabilir olsa da): birlikleri / kavşak / fark / birleştirme / bölümleri normal olmayacak şekilde düzenli bir dil vermeye çalışabilirsiniz ( bunun gibi daha fazla işlem vardır) ve kaç kelime oluşturduğunu saymaya çalışabilir ve normal bir dilde (bağladığınız Wikipedia sayfasında da bulunabileceği gibi) kelime sayısı için ifadeyle çelişip çelişmediğini kontrol edebilirsiniz.

Biçimsel dil teorisi ile Chomsky ve Schützenberger'in kanıtladığı biçimsel kuvvet serileri arasında bu harika bağlantı vardır [CS63] . [SS78] Chap. II, Teorem 5.1

$L$$\mathbb{K}$$\mathrm{char}(L)$$\mathbb{K}$

$\mathrm{char}(L)$

[SS78] Arto Salomaa ve Matti Soittola. Biçimsel Kuvvet Serilerinin Otomata Teorik Yönleri. Springer-Verlag, New York, 1978.

[CS63] Noam Chomsky ve Marcel P. Schützenberger. Bağlamdan bağımsız dillerin cebirsel teorisi. P. Braffort ve D. Hirschberg'de editörler, Bilgisayar Programcılığı ve Resmi Diller, sayfa 118-161. Kuzey Hollanda, 1963.

$I_{L}$$x$$y$$x I_{L} y$

1. $z_{x}$$xz_{x} \in L$$yz_{x} \in L$
2. $z_{y}$$yz_{y} \in L$$xz_{y} \in L$

$I_{L}$$L$

$I_{L}$