İki n basamaklı sayının çarpımı için en hızlı algoritma nedir?

İki n basamaklı sayının çarpımı için hangi algoritmanın en hızlı olduğunu bilmek istiyorum? Alan karmaşıklığı burada rahatlatılabilir!

Şu andan itibaren Fürer'in Martin Fürer'in algoritması, karmaşık sayılar üzerinden Fourier dönüşümleri kullanan $n \log(n)2^{Θ(log*(n))}$ karmaşıklığına sahiptir. Algoritması aslında Schönhage ve Strassen'in complex (n \ log (n) \ log (\ log (n))) zaman karmaşıklığına sahip algoritmasına dayanmaktadır.$Θ(n\log(n)\log(\log(n)))$

Sınıf Okulu Çarpma algoritmasından daha hızlı olan diğer algoritmalar, $O(n^{\log_{2}3})$ ≈ $O(n^{1.585})$ ve zaman karmaşıklığına sahip Toom 3 algoritması olan Karatsuba çarpımıdır. arasında $Θ(n^{1.465})$

Bunların hızlı algoritmalar olduğunu unutmayın. Çarpma için en hızlı algoritmayı bulmak Bilgisayar Biliminde açık bir sorundur.

Referanslar :

1. Fürer algoritması
2. Büyük sayıların FFT tabanlı çarpımı
3. Hızlı Fourier dönüşümü
4. Toom – Cook çarpımı
5. Schönhage – Strassen algoritması
6. Karatsuba algoritması

Avi tarafından listelenen FFT algoritmalarının büyük bir sabit eklediğini ve binlerce + bit'ten daha küçük sayılar için pratik olmadığını unutmayın.

Bu listeye ek olarak, başka ilginç algoritmalar ve açık sorular var:

• Bir RAM modelinde doğrusal zaman çarpımı (ön hesaplama ile)
• Bir Sabit ile çarpma Alt Doğrusal ( PDF ) - bu, toplambit karmaşıklığıiçin alınan alt doğrusal ekleme sayısı anlamına gelir. Bu esasen uzun çarpma ile eşdeğerdir (alt sayıdakisayısına göre kaydırma / ekleme yaptığınız),, ancakhızlandırması.1O(n2)O(logn$\mathcal{O}\left(\frac {n^2} {\log n} \right)$$1$$\mathcal{O}\left({n^2} \right)$$\mathcal{O}\left(\log n\right)$
• Artık sayı sistemi ve diğer sayı gösterimleri; çarpma neredeyse doğrusal bir zamandır. Dezavantajı, çarpma modülerdir ve {taşma tespiti, parite, büyüklük karşılaştırması}, sayıyı ikili veya benzer temsile dönüştürmek ve geleneksel karşılaştırmayı yapmak kadar sert veya neredeyse serttir; bu dönüşüm en azından geleneksel çarpma kadar kötü (şu anda AFAIK).
  • Diğer Temsilcilikler:
    • [ Logaritmik sunum ]: çarpma, logaritmik sunumun eklenmesidir. Örnek: $$16 \times 32 = 2^{\log_2 16 + \log_2 32} = 2^{4+5} = 2^{9}$$
      • Dezavantajı, logaritmik temsile dönüştürme ve çarpma kadar çarpma veya daha sert olabilir, temsil de kesirli / irrasyonel / yaklaşık vb. Olabilir. Diğer işlemler (ekleme?) Muhtemelen daha zordur.
    • Kanonik temsil : sayıları asal çarpanın çarpanı olarak temsil eder. Çarpma, üslerin eklenmesidir. Örnek: $$36 \times 48 = 3^2\cdot 5^1\times 2^{2}\cdot 3^1\cdot 4^1 = {2^2}\cdot {3^2} \cdot 4^1 \cdot 5^1$$
    • Dezavantajı, faktörler veya çarpanlara ayırma gerektirir, çarpma işleminden çok daha zor bir sorundur. Toplama gibi diğer işlemler muhtemelen çok zordur.