FFT'nin elle nasıl yapıldığını gösterin

İki polinomunuz olduğunu söyleyin: $3 + x$ ve $2x^2 + 2$ .

FFT'nin bu iki polinomu çarpmamıza nasıl yardımcı olduğunu anlamaya çalışıyorum. Ancak, hiç çalışılmış bir örnek bulamıyorum. Birisi bana FFT algoritmasının bu iki polinomu nasıl çarpacağını gösterebilir mi? (Not: Bu polinomlar hakkında özel bir şey yok, ancak takip etmeyi kolaylaştırmak için basit tutmak istedim.)

Sözde koddaki algoritmalara baktım, fakat hepsinin problemleri var gibi görünüyor (girişin ne olması gerektiğini, tanımlanmamış değişkenleri belirtmeyin). Ve şaşırtıcı bir şekilde, kimsenin FFT kullanarak çoğaltan bir polinom örneği (elle) üzerinden geçtiği yeri bulamıyorum.

algorithms fourier-transform divide-and-conquer

— lars
kaynak

Wikipedia, FFT aracılığıyla tam sayı çarpımı için bu hoş görüntüyü koruyor, ancak adım adım daha da açık bir şekilde yardımcı olabileceğini düşünüyorum.

— Realz Slaw

Biz karşılık ikame birlik dördüncü kökleri, kullanımı varsayalım $1,i,-1,-i$ için $x$ . Ayrıca FFT algoritmasında zaman içinde azalma yerine, zaman içinde azalma kullanıyoruz. (Ayrıca, sorunsuz bir şekilde biraz tersine çevirme işlemi uygularız.)

İlk polinomunun dönüşümü hesaplamak için, katsayıları yazarak başlamak:

3, 1, 0, 0.

$3,1,0,0.$ Fourier da katsayıların dönüşümü

3, 0

$3,0$ olduğu

3, 3

$3,3$ , ve tek katsayıları

1, 0

$1,0$ olduğu

1, 1

$1,1$ . (Bu dönüşüm sadece

a, b \mapsto a + b, a - b

$a,b \mapsto a+b,a-b$ .) Bu nedenle, ilk polinomun dönüşümü

4, 3 + i, 2, 3 - i .

$4,3+i,2,3-i.$ Bu kullanılarak elde edilen

X_{0, 2} = E_{0} \pm O_{0}

$X_{0,2} = E_0 \pm O_0$ ,

X_{1, 3} = E_{1} \mp i O_{1}

$X_{1,3} = E_1 \mp i O_1$ . (Twiddle faktörü hesaplamasından).

İkinci polinom için aynı şeyi yapalım. Katsayılardır

2, 0, 2, 0.

$2,0,2,0.$ daha katsayıları

2, 2

$2,2$ dönüşümü

4, 0

$4,0$ ve tek katsayıları

0, 0

$0,0$ dönüşümü

0, 0

$0,0$ . Bu nedenle, ikinci polinomun dönüşümü

4, 0, 4, 0.

$4,0,4,0.$

İki Fourier dönüşümünü nokta ile çarparak ürün polinomunun Fourier dönüşümünü elde ederiz:

16, 0, 8, 0.

$16, 0, 8, 0.$ Ters Fourier dönüşümünü hesaplamak için kalır. Çift katsayılar

16, 8

$16,8$ ters

12, 4

$12,4$ dönüşür ve tek katsayılar

0, 0

$0,0$ ters dönüş

0, 0

$0,0$ . (Ters dönüşüm

x, y \mapsto (x + y) / 2, (x - y) / 2

$x,y \mapsto (x+y)/2,(x-y)/2$ ). Bu nedenle Ürün polinom dönüşümü

6, 2, 6, 2.

$6,2,6,2.$ Bu kullanılarak elde edilen

X_{0, 2} = (E_{0} \pm O_{0}) / 2

$X_{0,2} = (E_0 \pm O_0)/2$ ,

X_{1, 3} = (E_{1} \mp i O_{1}) / 2

$X_{1,3} = (E_1 \mp i O_1)/2$ . İstediğiniz cevabı elde ettik

(3 + x) (2 + 2 x^{2}) = 6 + 2 x + 6 x^{2} + 2 x^{3} .

$(3 + x)(2 + 2x^2) = 6+2x+6x^2+2x^3.$

— Yuval Filmus
kaynak

6,2 6, 2'ye nasıl geldiniz?

— lars

: I formüller verdi

(

) olduğu

formülü ile elde edilen çift (tek) katsayıların ters dönüşümü

X_{0, 2} = (E_{0} \pm O_{2}) / 2

$X_{0,2} = (E_0 \pm O_2)/2$

X_{1, 3} = (E_{1} \mp i O_{1}) / 2

$X_{1,3} = (E_1 \mp i O_1)/2$

E_{0}, E_{1}

$E_0,E_1$

O_{1}, O_{2}

$O_1,O_2$

. Lütfen cevaba tekrar bakın - tüm hesaplamalar var.

x, y \mapsto (x + y) / 2, (x - y) / 2

$x,y \mapsto (x+y)/2,(x-y)/2$

— Yuval Filmus

Eşit katsayıları neden iki kere kullanıyorsunuz? 3,3 -> 3,3,3,3. -> 3 + 1, 3-i, 3 + -1,3 - i?

— Aage Torleif

için bu formüller daha yüksek derecelere nasıl uzanır? Artı / eksi işaretleri çevrilmeye devam mı ediyor? Örneğin,

için ne olurdu ?

X_{0, 2}

$X_{0,2}$

X_{1, 3}

$X_{1,3}$

X_{0, 2, 4}

$X_{0,2,4}$

— Bobby Lee,

@BobbyLee FFT ile ilgili bazı literatürleri okumanı tavsiye ediyorum.

— Yuval Filmus,

Polinomları tanımlayın, nerede deg(A) = qve deg(B) = p. deg(C) = q + p.

Bu durumda deg(C) = 1 + 2 = 3,.

A = 3 + x B = 2 x^{2} + 2 C = A * B = ?

$A = 3 + x \\ B = 2x^2 + 2 \\ C = A*B = ?$

Kolayca Cı bulabilirsiniz $O(n^2)$ katsayılarının kaba kuvvet çoğalması ile zaman. FFT (ve ters FFT) uygulayarak bunu $O(n\log(n))$ zamanında başarabiliriz . Açıkça:

A ve B'nin katsayı gösterimini değer temsiline dönüştürün. Bu sürece değerlendirme denir . Bunun için Böl ve Conquer (D&C) yapmak $O(n\log(n))$ zaman alacaktır .
Polinomları bileşen temsiliyle değer temsillerinde çarpın. Bu, C = A * B'nin değer gösterimini döndürür. Bu $O(n)$ zaman alır.
C'yi ters katsayılı gösterimde almak için ters FFT kullanarak C'yi ters çevirin. Bu işleme enterpolasyon denir ve ayrıca $O(n\log(n))$ zaman alır.

Devam edersek, her polinomu, değeri katsayıları olan bir vektör olarak temsil ederiz. Vektörü 0 ile en küçük iki, $n = 2^k, n \geq deg(C)$ . Böylece $n = 4$ . İki gücün seçilmesi, bize bölün ve fethetme algoritmamızı tekrar tekrar uygulamak için bir yol sağlar.

\begin{aligned} A = 3 + x + 0 x^{2} + 0 x^{3} \Rightarrow & \vec{a} = [3, 1, 0, 0] \\ B = 2 + 0 x + 2 x^{+} 0 x^{3} \Rightarrow & \vec{b} = [2, 0, 2, 0] \end{aligned}

$\begin{align} &A = 3+x+0x^2+0x^3 \Rightarrow &\vec{a} = [3, 1, 0, 0]\\ &B = 2+0x+2x^+0x^3 \Rightarrow & \vec{b} = [2, 0, 2, 0] \end{align}$

Let $A', B'$ , sırasıyla A ve B değeri temsili olarak. FFT (Hızlı olduğuna dikkat edin Fourier Dönüşümü ) lineer transformasyonu (olup lineer harita ) ve bir matris olarak temsil edilebilir $M$ . Böylece

A^{'} = M \vec{a} B^{'} = M \vec{b}

$A' = M \overrightarrow{a} \\ B' = M \overrightarrow{b}$

$M = M_n(\omega)$ $\omega$ $n^{th}$ n = 4 $j^{th}$ $k^{th}$ $\omega_n^{jk}$

M_{4} (w) = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & . . . & 1 \\ 1 & ω^{1} & ω^{2} & . . . & ω^{n - 1} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & . . . & . . . \\ . . . & . . . & . . . & ω^{j k} & . . . \\ 1 & ω^{n - 1} & ω^{2 (n - 1)} & . . . & ω^{(n - 1) (n - 1)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} \end{matrix}]

$M_4(w) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1\\ 1 & \omega^1 & \omega^2 & ... & \omega^{n-1}\\ 1 & \omega^2 & \omega^{4} & ... & ... \\ ... & ... & ... & \omega^{jk} & ...\\ 1 & \omega^{n-1} & \omega^{2(n-1)} & ... & \omega^{(n-1)(n-1)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega & \omega^2 & \omega^3\\ 1 &\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\ 1 &\omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix}$

$\omega_4 = 4^{th}$

{ω^{0}, ω^{1}, ω^{2}, ω^{3}, ω^{4}, ω^{5}, . . .} = {1, i, - 1, - i, 1, i, . . .}

$\{\omega^{0},\omega^1, \omega^2, \omega^3, \omega^4, \omega^5, ... \} = \{1, i, -1, -i, 1, i, ...\}$

Bu, birim dairenin köklerini saat yönünün tersine çevirerek görüntülenebilir.

mod n $\omega^6 = \omega^{6 \mod n} = \omega^{2} = -1$ $-i = \omega^{3} = \omega^{3+n}$

$A', B'$

A^{'} = M * \vec{a} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 + 1 \\ 3 + 1 ω \\ 3 + ω^{2} \\ 3 + ω^{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{matrix}] B^{'} = M * \vec{b} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 + 2 \\ 2 + 2 ω^{2} \\ 2 + 2 ω^{4} \\ 2 + 2 ω^{6} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}]

$A' = M * \vec{a} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega & \omega^2 & \omega^3\\ 1 &\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\ 1 &\omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + 1 \\ 3 + 1 \omega \\ 3 + \omega^2 \\ 3 + \omega^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{bmatrix} \\ B' = M * \vec{b} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega & \omega^2 & \omega^3\\ 1 &\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\ 1 &\omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + 2 \\ 2 + 2 \omega^2 \\ 2 + 2\omega^4 \\ 2 + 2\omega^6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}$

Bu adım, D&C algoritmaları kullanılarak gerçekleştirilebilir (bu cevabın kapsamı dışında).

çarpma $A' * B'$

A^{'} * B^{'} = [\begin{matrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{matrix}] [\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 16 \\ 0 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}] = C^{'}

$A' * B' = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 + i \\ 2 \\ 3 - i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 \\ 0\\ 8 \\ 0 \end{bmatrix} = C'\\$

Son olarak, son adım C 'yi katsayılara dönüştürmektir. ihbar

C^{'} = M \vec{c} \Rightarrow M^{- 1} C^{'} = M^{- 1} M \vec{c} \Rightarrow \vec{c} = M^{- 1} C^{'}

$C' = M \vec{c} \\ \Rightarrow M^{-1}C' = M^{-1} M \vec{c} \\ \Rightarrow \vec{c} = M^{-1}C'$

$M_n^{-1} = \frac{1}{n} M_n(\omega^{-1})$ $\omega^j = -\omega^{n/2 + j}$

M_{n}^{- 1} = \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & ω^{- 1} & ω^{- 2} & ω^{- 3} \\ 1 & ω^{- 2} & ω^{- 4} & ω^{- 6} \\ 1 & ω^{- 3} & ω^{- 6} & ω^{- 9} \end{matrix}] = \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - i & - 1 & i \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & i & - 1 & - i \end{matrix}]

$M_n^{-1} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 &\omega^{-1} & \omega^{-2} & \omega^{-3}\\ 1 &\omega^{-2} & \omega^{-4} & \omega^{-6}\\ 1 &\omega^{-3} & \omega^{-6} & \omega^{-9} \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix}$

$\omega^{-j}$

{ω^{0}, ω^{- 1}, ω^{- 2}, ω^{- 3}, ω^{- 4}, ω^{- 5}, . . .} = {1, - i, - 1, i, 1, - i, . . .}

$\{\omega^{0},\omega^{-1}, \omega^{-2}, \omega^{-3}, \omega^{-4}, \omega^{-5}, ... \} = \{1, -i, -1, i, 1, -i, ...\}$

Ayrıca, birliğin kökü göz önüne alındığında, eşitlik nin tuttuğu doğrudur . (Nedenini görüyor musun?) $n^{th}$ $\omega^{-j} = \omega^{n-j}$

Ardından,

\vec{c} = M^{- 1} C^{'} = \frac{1}{n} M_{n} (w^{- 1}) = \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - i & - 1 & i \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & i & - 1 & - i \end{matrix}] [\begin{matrix} 16 \\ 0 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} (16 + 8) / 4 \\ (16 - 8) / 4 \\ (16 + 8) / 4 \\ (16 - 8) / 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}]

$\vec{c} = M^{-1}C' = \frac{1}{n} M_n(w^{-1}) = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 16 \\ 0\\ 8 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (16 + 8) /4 \\ (16 - 8) /4 \\ (16 + 8) /4 \\ (16 - 8) /4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 2\\ 6 \\ 2 \end{bmatrix}$

C = A * B = 6 + 2 x + 6 x^{2} + 2 x^{3}

$C = A * B = 6 + 2x + 6x^2 + 2x^3$

— j__gt
kaynak