sonsuz özyinelemeli kümelerin alt kümeleri

Yakın tarihli bir sınav sorusu şu şekildedir:

, sonsuz bir yinelenen numaralandırılabilir kümedir. sonsuz bir özyinelemeli altkümesiolduğunu kanıtlayın. $A$ $A$

Let sonsuz özyinelemeli alt kümesi . Must olan bir alt kümeyi değil ardışık enumerable? $C$ $A$ $C$

Ben zaten 1. cevapladım. 2. ile ilgili olarak, olumlu cevap verdim ve şöyle tartıştım.

Tüm alt kümelerinin özyinelemeli olarak numaralandırılabileceğini varsayın . Yana sonsuzdur, güç seti yüzden varsayımı ile sayılamayacak sonsuzlukta ardışık enumerable setleri olacağını, sayılamayan olduğunu. Ancak yinelemeli olarak numaralandırılabilir kümeler, onları tanıyan Turing makineleri ile birebir yazışmalar yapar ve Turing makineleri numaralandırılabilir. Çelişki. Bu nedenle , özyinelemeli olarak numaralandırılamayan bir alt kümeye sahip olmalıdır. $C$ $C$ $C$ $C$

Bu doğru mu?

computability check-my-proof

— user1435
kaynak

Sonunda tam olarak doğru değil, çünkü her bir set sadece bir değil sonsuz sayıda Turing makinesi tarafından numaralandırılıyor. Yine de bu sorunu çözebilirsiniz.

— Carl Mummert

@Carl: Ah, doğru, teşekkürler - aptalca bir hata. Ama ihtiyacım olan tek şey TM'lere bir enjeksiyon değil, bir enjeksiyon değil, değil mi? Ve sınıfımın çalıştığı Turing-computable tanımında, her TM bir ve sadece bir işlevle ilişkilendirilir. Böylece farklı setler -> farklı tanıma fonksiyonları -> onları hesaplayan farklı TM'ler.

— user1435

! user1435: son cümledeki şeyleri tersine çeviriyorsun. Her Turing makinesi tek bir fonksiyon hesaplar, ancak her hesaplanabilir fonksiyon sonsuz sayıda Turing makinesinden elde edilir.

— Carl Mummert

Fakat f fonksiyonum f (r) = üzerinden onu tanıyan sonsuz sayıda TM'den herhangi birini {tanıma fonksiyonları r} ile {TMs} eşleştirirse, bir enjeksiyonum var, değil mi? Ya da sanırım {TMs} 'i aynı işlevi hesaplayan TM'lerin sonsuzluğunu tanımlayan bir denklik ilişkisi ile bölebilirim ve sonra r'yi uygun eşdeğerlik sınıfına eşleyebilirim.

— user1435

Carl haklı, bire bir yazışmalarda değil, her ce seti sonsuz sayıda TM'ye karşılık geliyor. Yorumunuzda yaptığınız gibi diğer nesne kümelerini dikkate almak hiçbir şeyi değiştirmez, bunlar TM'ler kümesi değildir.

— Kaveh

Doğru.

Her sonsuz kümede kararsız bir alt küme vardır, kardinalite argümanını kullanabilirsiniz: $\aleph_0\leq C \implies \aleph_0 < 2^C$

$C$

$D = \{ i \in C \mid i \notin W_i \}$ $W_i$ $i$ $D \subseteq C$ $D$ $C$ $K = \{ i \mid i\notin W_i\}$ $C$ $D$

— Kaveh
kaynak

"Her sonsuz kümede kararsız bir alt küme vardır." Bu, kanıtlamaya çalıştığım iddiadan daha zayıf. C'nin bir non-RE alt kümesine sahip olması gerektiğini, bir decidable alt kümesinin olmadığını kanıtlamaya çalıştım. Talebim hala doğru mu?

— user1435

Evet. "Kararsız" terimi biraz fazla yüklenmiş (Wikipedia'nın iyi bir tartışması var ). Yani bu cevap muhtemelen kanıtlamaya çalıştığınız anlamına gelir.

— David Lewis

@ user1435, evet, aynı argüman herhangi bir sayılabilir dil sınıfı için çalışıyor, bunu netleştirmek için soruyu güncelledim.

— Kaveh