Bir güç kümesinin alt kümesi için en kısa temsili nasıl bulurum?

Aşağıdaki sorun veya NP sertliğinin bir kanıtı için verimli bir algoritma arıyorum.

Let bir dizi ve olmak alt kümelerinin bir dizi . Bir dizi Bul en az bir uzunlukta, örneğin her biri için bu , bir orada , öyle ki . $\Sigma$ $A\subseteq\mathcal{P}(\Sigma)$ $\Sigma$ $w\in \Sigma^*$ $L\in A$ $k\in\mathbb{N}$ $\{ w_{k+i} \mid 0\leq i < |L| \} = L$

Örneğin, için , kelime için, çünkü soruna bir çözüm var için, var . $A = \{\{a,b\},\{a,c\}\}$ $w = bac$ $\{a,b\}$ $k=0$ $\{a,c\}$ $k=1$

Motivasyonuma gelince, her kenarın giriş alfabesinden bir dizi harfle etiketlenebildiği sonlu bir otomatın kenar kümesini temsil etmeye çalışıyorum. Ben tek bir dize saklamak ve daha sonra her kenarda bu dize işaretçiler bir çift tutmak istiyorum. Amacım bu dizenin uzunluğunu en aza indirmektir.

algorithms formal-languages encoding-scheme

— avakar
kaynak

Başka bir deyişle, sorun bir dizi haline sipariş setleri etmektir

maksimize

L_{1}, \dots, L_{n}

$L_1, \dots, L_n$

\sum | L_{i} \cap L_{i + 1} |

$\sum |L_i \cap L_{i+1}|$

— Karolis Juodelė

L_{i}, L_{i + 1}, L_{i + 2}

$L_i, L_{i+1}, L_{i+2}$

L_{i} \cap L_{i + 2}

$L_i \cap L_{i+2}$

w

$w$

L_{i + 1}

$L_{i+1}$

{{a, b}, {a, c}, {a, d}}

$\{\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\}\}$

a

$a$

w

$w$

b a c a d

$bacad$

i \neq j

$i\neq j$

L_{i} \subseteq L_{j}

$L_i\subseteq L_j$

A = {{c, o, w}, {o, w, l}, {w, o, l, f}}

$A=\{\{c,o,w\},\{o,w,l\},\{w,o,l,f\}\}$

c o w o w l w o l f

$cowowlwolf$

c o w l f

$cowlf$

— MindaugasK

@MindaugasK, bu doğru, çok güzel bir örnek :)

— avakar

Hamilton yolundan bir azalma bulduğuma inanıyorum , bu da NP-zor problemini kanıtlıyor.

$w\in\Sigma^*$ $A$ $L\in A$ $m\geq 1$ $\{w_{m+i}\mid 0\leq i<|L|\} = L$

Orijinal sorunun karar versiyonunu düşünün; $A$ $k\geq 0$ $A$ $k$ $k$

$G=(V,E)$ $v\in V$ $L_v=\{v\}\cup\{e\in E\mid v\in e\}$ $v$ $\Sigma=E$ $A=\{L_v\mid v\in V\}$ $G$ $A$ $2|E|+1$

$v_1e_1v_2\ldots e_{n-1}v_n$ $G$ $H=\{e_1, e_2, \ldots, e_{n-1}\}$ $v$ $U_v=L_v\setminus H$ $\alpha_v$ $U_v$ $w=\alpha_{v_1}e_1\alpha_{v_2}e_2\ldots e_{n-1}\alpha_{v_n}$ $A$ $L_{v_1}$ $\alpha_1e_1$ $L_{v_n}$ $e_{n-1}\alpha_n$ $v_i$ $i\notin\{1, n\}$ $L_{v_i}$ $e_{i-1}u_{v_i}e_i$ $E$ $w$ $|V|-1$ $H$ $V$ $|w|=2|E|+1$

$w$ $A$ $2|E|+1$ $e\in E$ $v\in V$ $w$ $e\in E$ $w$ $v\in V$ $w$ $H\subseteq E$ $w$ $|w|=2|E|-|H|+|V|$

$w$ $ue_1e_2\ldots e_kv$ $u,v\in V$ $e_i\in E$ $u,v$ $e_i\in H$ $e_i=\{u,v\}$ $e_i$ $G$ $e_i$ $H$ $H$ $w$

$|V|$ $|H|\leq |V|-1$ $|w|\geq 2|E|+1$ $|w|\leq 2|E|+1$ $|H|=|V|-1$ $H$ $w$ $h_1h_2\ldots h_{n-1}$ Tüm elemanlar amacıyla da görünür . Ardından $H$ $w$ $v_1h_1v_2h_2\ldots h_{n-1}v_n$ $G$ $\square$

Hamilton yolunun varlığına karar verme problemi NP-zor ve yukarıdaki azalma polinom olduğundan, orijinal problem de NP-zor.

— avakar
kaynak