İki büyük küme arasındaki küme farkını hesaplama

İki büyük $A$ ve tamsayı kümem var $B$. Her kümede yaklaşık bir milyon giriş vardır ve her giriş en fazla 10 basamak uzunluğunda pozitif bir tamsayıdır.

$A\setminus B$ ve hesaplamak için en iyi algoritma nedir $B\setminus A$? Başka bir deyişle, $A$ olmayan ve olmayan girişlerin listesini nasıl verimli bir şekilde hesaplayabilirim $B$? Bu operasyonları verimli hale getirmek için bu iki seti temsil eden en iyi veri yapısı ne olabilir?

Gelebileceğim en iyi yaklaşım, bu iki seti sıralı listeler olarak saklamak ve $A$ her elemanını her elemanıyla $B$doğrusal bir şekilde karşılaştırmaktır. Daha iyisini yapabilir miyiz?

Kümeleri özel bir veri yapısında saklamak istiyorsanız, muhtemelen bazı ilginç karmaşıklıklar elde edebilirsiniz.

$I=\mathcal O\left(\min\left(|A|,|B|,|A\Delta B|\right)\right)$

Daha sonra , her biri ve beklenen süre. Yani esasen, hangisinin daha az olursa olsun, iki setin minimum boyutunu veya simetrik farkın boyutunu elde edersiniz. Simetrik fark küçükse bu doğrusaldan daha iyidir; yani. eğer büyük bir kavşakları varsa. Aslında, istediğiniz iki set farkı işlemi için, bu pratik olarak çıktıya duyarlıdır, çünkü birlikte simetrik farkın boyutunu oluştururlar.A Δ B O ( I ⋅ log | A | + | B $A\cup B, A\cap B,A\setminus B$$A\Delta B$$\mathcal O\left(I\cdot\log\frac{|A|+|B|}{I}\right)$

Daha fazla bilgi için bkz. Olle Liljenzin (2013) tarafından Kesintisiz Kalıcı Kümeler ve Haritalar .

Kümeler sıralanmış bağlantılı listeler olarak temsil edilirse, doğrusal tarama nasıl yapılacağını bildiğim en iyisidir. Çalışma süresi .$O(|A| + |B|)$

her bir öğesini her bir öğesiyle karşılaştırmanız gerekmediğini unutmayın . Bu , daha kötü olan çalışma süresine yol açacaktır . Bunun yerine, bu iki kümenin simetrik farkını hesaplamak için, her iki kümede ortak olan değerleri atlamak için uygun şekilde değiştirilmiş, mergesort'taki "birleştirme" işlemine benzer bir teknik kullanabilirsiniz.B O ( | A | × | B |$A$$B$$O(|A| \times |B|)$

Daha ayrıntılı olarak, hesaplamak için aşağıdakine benzer bir özyinelemeli algoritma ; ve değerleri sıralanmış düzende bağlantılı listeler olarak gösterildiği varsayılır :A $A \setminus B$$A$$B$

difference(A, B):
    if len(B)=0:
        return A # return the leftover list
    if len(A)=0:
        return B # return the leftover list
    if A[0] < B[0]:
        return [A[0]] + difference(A[1:], B)
    elsif A[0] = B[0]:
        return difference(A[1:], B[1:])  # omit the common element
    else:
        return [B[0]] + difference(A, B[1:])

Bunu sahte Python'da temsil ettim. Python okumak yoksa, A[0]bağlantılı liste başıdır A, A[1:]listenin geri kalanı ve +listelerin birleştirme temsil eder. Verimlilik nedeniyle, Python'da çalışıyorsanız, muhtemelen tam olarak yukarıdaki gibi uygulamak istemezsiniz - örneğin, birçok geçici liste oluşturmaktan kaçınmak için jeneratörleri kullanmak daha iyi olabilir - ancak fikirleri mümkün olan en basit biçimde gösterir. Bu sahte kodun amacı sadece somut bir uygulama önermemek değil, algoritmayı açıklamaktır.

Kümeleriniz sıralı listeler olarak gösteriliyorsa ve çıktının sıralı bir liste olarak sunulmasını istiyorsanız, daha iyisini yapmanın mümkün olduğunu düşünmüyorum. Temel olarak ve her elementine bakmak zorundasınız . Gerekçe Gayri kroki: Eğer bakmadım dair herhangi bir unsur varsa, yapamazsın çıktı o, bunu hem mevcut olduğunu biliyorum eğer bir unsuru bakarak atlayabilirsiniz tek durum yani ve , ama değerine bakmadıysanız bunun mevcut olduğunu nasıl bilebilirsiniz?B A $A$$B$$A$$B$

A ve B eşit büyüklükte, ayrık ve serpiştirilmişse (örneğin A'daki tek sayılar ve B'deki çift sayılar), o zaman öğelerin doğrusal zamandaki çift karşılaştırması muhtemelen en uygunudur.

A ve B, tam olarak A veya B'den birinde veya her ikisinde bulunan öğe blokları içeriyorsa, alt lineer zamanda küme farkı, birleşim ve kesişimin hesaplanması mümkündür. Örnek olarak, A ve B tam olarak bir maddede farklılık gösteriyorsa, fark O (log n) olarak hesaplanabilir.

http://arxiv.org/abs/1301.3388

bir seçenek, ( konumun bir öğenin varlığını veya yokluğunu temsil ettiği) ve set tipi işlemleri temsil etmek için bitvektörleri kullanmak ve daha sonra dijital bilgisayarlarda hızlı bir şekilde (ve paralel olarak birden fazla bitte) gerçekleştirilebilen ikili işlemlere indirmektir. . bu durumda = burada bitvektörlerdir. bu tekniğin diğer tekniklere göre nispi etkinliği de seyrekliğe bağlıdır. daha yoğun kümeler için diğer yaklaşımlardan daha verimli olabilir. ayrıca elbette tüm operasyon utanç verici bir şekilde paraleldir, böylece ayarlanan işlemler paralel olarak yapılabilir.A - B a ∧ ¯ b a , $n$$A-B$$a \wedge \overline b$$a,b$