Tüm girdilerde duran bir TM var mı, ancak bu özellik kanıtlanabilir değil mi?

17

Tüm girdileri durduran bir Turing makinesi var mı, ancak bu özellik bir nedenden dolayı kanıtlanamaz mı?

Bu sorunun incelenip incelenmediğini merak ediyorum. "Kanıtlanamaz", "sınırlı" bir kanıt sistemi anlamına gelebilir (zayıf anlamda cevabın evet olması gerektiğini düşünür). Tabii ki mümkün olan en güçlü cevaba, yani ZFC set teorisindeki ya da her neyse tüm girdiler üzerinde durdurulamayacak bir cevapla ilgileniyorum .

Bu Ackermann işlevi için doğru olabilirdi ama ayrıntılara pusluyum. Wikipedia'nın bu yönü açıkça tanımladığı anlaşılıyor.

— vzn
kaynak

3

Peano Aritmetiği, Ackermann'ın işlevinin toplam olduğunu kanıtlamak için yeterlidir: bu Jaap van Oosten'in PA notlarına girişinin 17. uygulamasıdır .

— David Richerby

toplam hesaplanabilir fn defn wikipedia. Bu soru kısmen ilgili uzun açık bir soru olduğu collatz fn bakarak motive edildi ...

— vzn

2

Bu aptalca bir açıklamadır, ancak tüm girdilerde sona eren her Turing makinesi M için

teorisinin tutarlı bir teori olduğuna dikkat edin. Ancak Gödels teoremini kullanarak, tüm bu makinelerin sonlandırıldığını kanıtlayabilecek tek bir özyinelemeli teori olmadığını gösterebiliriz .

P A + " M terminates on all input"

$\mathrm{PA}+\mbox{"$M$ terminates on all input"}$

— cody

12

Evet. Goodstein dizisini girişinden başlayarak hesaplayan ve dizi sıfıra düştüğünde sona eren Turing makinesi . Her zaman sona erer, ancak bu Peano aritmetiğinde kanıtlanamaz. Eminim ZFC veya seçebileceğiniz herhangi bir sistem için eşdeğer şeyler vardır.

Düzenle ZF, Hartmanis ve Hopcroft için, her girişi reddeden bir Turing makinesi olduğunu, ancak bunun ZF'de kanıtlanamayacağını gösterir. ZF'nin her zaman durduğunu kanıtlayabildiğinden emin değilim ama kesinlikle makinenin " kabul ederse sonsuza kadar döngü yaparsa , başka bir şekilde durduğunu" kesinlikle kanıtlayamaz . Bu hala ZFC'yi açık bırakıyor, ancak ZF PA'dan daha güçlü. $M$ $M$ $M'(x)$ $=$ $M$ $x$

Bkz. 3 Scott Aaronson adlı araştırmasına orijinal gazetelere Hartmanis-Hopcroft sonucu ve alıntıları bir fuar için P = NP bağımsızlığı üzerinde.

— David Richerby
kaynak

Seçim aksiyomunu ekleme hakkında: ZFC, durma problemi gibi "basit" ifadeler için ZF'den daha iyi yapamaz (bu durumda yanılmıyorsam

). ZF ve ZFC tam olarak aynı

ifadelerini kanıtlıyor olmasıdır .

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

— cody

6

Bir teori al (o her teoremini ortaya koymak mümkün değil "temel" aritmetik kadar güçlü, en azından, ve bu ardışık enumerable olan ). ${\cal T}$ ${\cal T}$

Giriş aşağıdaki gibi davranan aşağıdaki makine oluşturun : $M$ $n$

If there is no proof of 0 = 1 in less than n steps in T, ACCEPT
Otherwise, LOOP.

İkinci eksiklik teoremini kullanarak tüm girdilerde sonlandığını kanıtlayamadığını göstermek oldukça kolaydır (eğer tutarlıysa). ${\cal T}$ $M$

Bu tabii ki tutarlı oldukları sürece , , , ... için çalışır. ${\cal T}=\mathrm{ZFC}$ ${\cal T}=\mathrm{PA}$ ${\cal T}=\mathrm{PA²}$

— cody
kaynak

5

Bazıları PA'da kanıtlanamaz ancak gerçek teoremler Turing makinelerine dönüştürülebilir. Örneğin, Ramsey teoreminin PA'da kanıtlanamayan (güçlendirilmiş bir versiyonu) vardır ve sadece doğru arayacak bir makine inşa edebiliriz . $N$

— Daniil
kaynak