Neden NP'de bu çözülemez bir problem değil?

Açıkçası, NP’de tespit edilemeyen herhangi bir problem yoktur. Ancak, Wikipedia'ya göre :

NP, cevabın "evet" olduğu durumların, belirleyici bir Turing makinesi tarafından polinom zamanında doğrulanabilir [.. ispatları] olduğu tüm karar sorunlarının kümesidir.

[...]

Bir problemin sadece eğer polinom zaman içinde yürütülen problem için bir doğrulayıcı varsa ve eğer NP cinsinden olduğu söylenir.

Şimdi aşağıdaki sorunu göz önünde bulundurun:

Bir Diophantine denklemi verildiğinde , herhangi bir tamsayı çözümü var mı?

Bir çözüm göz önüne alındığında, bu gerçekten o polinom zamanda doğrulamak kolaydır olduğunu sadece denklemin içine numaraları fiş: Bir çözüm. Dolayısıyla, sorun NP'dedir. Bununla birlikte, bu problemi çözmenin ünlü olduğu kesin olarak kabul edilemez !

(Benzer şekilde, durma sorununun NP'de olması gerektiği anlaşılmaktadır, çünkü "evet" - bu programın N. Adımda durması "nın çözülmesi" N "adımında doğrulanabilir.)

Açıkçası benim anlayışımda yanlış olan bir şey var, peki nedir?

NP eşdeğer tanımının tüm sorunların meydana gelmesi olan Karar verilebilen bir belirli olmayan Turing makinesi tarafından polinom zamanda (sadece doğrulanabilir). NTM'lerin NTM'ler tarafından reddedilebilecek sorun kümesinin, TM'lerin belirleyebileceği sorunların kümesiyle aynı olduğu anlamında, TMM'lerin daha güçlü olmadığı bilinmektedir;

NP'in iki tanımının eşdeğer olduğunu göstermek için, deterministik bir doğrulayıcının varlığı göz önüne alındığında, deterministik olmayan bir karar vericinin var olduğunu ve bunun tersi olduğunu gösterebilirsiniz.

Deterministik bir polinom doğrulayıcı olduğunu varsayalım. Daha sonra, bu problemin / doğrulayıcının bağlı olduğu sertifika büyüklüğüne karşılık gelen polinom tarafından sınırlandırılmış uzunluktaki bir sertifikayı deterministik olarak tahmin etmeyen ve doğrulayıcıyı çalıştıran bir makine de vardır. Alfabe sonlu olduğundan, herhangi bir girişin sertifikası sonludur (ve girişin büyüklüğünde en çok polinom) ve doğrulayıcı polinom zamanında çalışır, makine tüm girişler için tüm dallarda durur ve deterministik) polinom zamanı. Dolayısıyla her deterministik doğrulayıcı için determinist olmayan bir karar var.

Belirleyici olmayan bir karar vericiniz varsa, o zaman kabul eden her hesaplama için karar vericinin kabul durumuna ulaşmak için aldığı seçimlerin yolunu yazabilirsiniz. Decider polinom zamanında çalıştığından, bu yol en çok polinom uzunluğunda olacaktır. Ve deterministik bir TM için böyle bir yolun NTM'den kabul edilebilir bir duruma geçerli bir yol olduğunu doğrulaması kolaydır , bu yüzden bu yollar problem için polinom zaman doğrulayıcısı için sertifikalar oluşturur. Dolayısıyla, deterministik olmayan her karar vericinin deterministik bir doğrulayıcısı vardır.

Bu nedenle , çözülemeyen herhangi bir problemin , polinom büyüklüğündeki sertifikalar üzerinde çalışan bir doğrulayıcısı olamaz (aksi halde doğrulayıcının varlığı bir kararcının varlığına işaret eder).

Durma problemi için bir doğrulayıcı bulunduğunu iddia ettiğinizde, bahsettiğiniz sertifika, TM'nin N adımda I girişinde durduğu kodun bir kısmıdır (TM, I, N). Bu gerçekten N adımda doğrulanabilir, ancak sertifikanın boyutu (TM, I) orijinal soruna giriş boyutunda (durma sorunu) polinom değildir; N isteğe bağlı olarak büyük olabilir (kodlamaya bakılmaksızın). Böyle bir doğrulayıcıyı belirleyici olmayan bir kararmaya dönüştürmeye çalışırsanız, biraz ilginç bir makine elde edersiniz. Bunu yapmayan bir TM için çalıştırdığınızda (TM, I) ispatlayabilmelisiniz.girişte durma I makine boyunca kesintisiz yol yoktur, ancak durma durumuna giden herhangi bir yol için daima daha uzun bir yol vardır (daha büyük bir N tahminine tekabül eder) ve dolayısıyla sınırlanmış bir sınır yoktur yürütme zamanı. Esasen bunun nedeni, ilk deterministik olmayan tahminde bulunulması gereken araştırılması gereken sonsuz bir alan olmasıdır. Böyle bir NTM'nin deterministik bir TM'ye dönüştürülmesi , ne girdi yapan ne de durmayan makinelerden birine yol açar. Aslında durma sorununa karar verebilecek hiçbir NTM yoktur ve bu nedenle sınırlı boyuttaki sertifikalar üzerinde çalışan hiçbir doğrulayıcı yoktur.

Diophantine denklemlerine pek aşina değilim, ama aslında aynı problem sizin argümanınız için de geçerli.

Bu nedenle NTM’nin NP’nin tanımı konusunda nedenini daha kolay buluyorum. Çözülemeyen sorunların doğrulayıcıları var (yalnızca asıl soruna girdi boyutuna bağlı polinom boyutuna sahip sertifikalarda çalışanlar değil). Aslında , bazı dilleri tanıyan, ancak karar vermeyen herhangi bir TM , aynı dil için kolayca bir doğrulayıcıya dönüştürülebilir.

Doğrulayıcıları düşünürseniz, zaman sınırlarını sertifika büyüklüğü açısından değil , orijinal sorun girişinin büyüklüğü olarak vermeniz gerekir ; Sertifikaların boyutunu keyfi bir şekilde şişirebilirsiniz, böylece doğrulayıcı, sertifikanın boyutu açısından daha düşük bir sürede çalışır.

Sanırım bir diophantine denklemini ve Matiyasevich'in kararsızlık teoremini çözmenin ne demek olduğunu yanlış anladınız .

Matiyasevich her RE seti için ispat bir diophentine denklemi vardır f ( n ; X 1 , . . . , X k ) bu şekilde , n ∈ S katsayıları tam sayı vardır yalnızca x 1 , .., X k bu şekilde ön ( n ; x 1 , . . . , x k ) = $S$$f(n;x_1,...,x_k)$$n \in S$$x_1$$x_k$$f(n;x_1,...,x_k) = 0$. Özellikle, durdurma problemi tipik bir RE setidir ve bu yüzden yukarıdaki problemi çözmek kararsızdır.

Not büyüklüğüne bağlı değildir ve genel olarak isteğe bağlı olarak büyük olabilir, bu nedenle bu problemde belirgin bir "polinom büyüklüğünde sertifika" yoktur.$x_1, ... x_k$

Genişletmek için: tamsayılar bir sertifika olması için ikili olarak yazılmış olması gerekir. Bu tamsayılar (bakılmaksızın rasgele büyük olabilir beri n ), biz sertifika içinde polinom olmadığını sahip günlüğüne n ya da daha da önemlisi, vermeyerek ve hesaplanabilir bir fonksiyon sınırlı.$x_1, ... , x_k$$n$$\log n$

Bununla birlikte, her problem, bazı polinom p ( N ) ( N'nin giriş büyüklüğü olduğu ) ile sınırlandırılmış bir sertifikaya sahiptir . Bu nedenle N P soruları tizel olarak kararlaştırılabilir, çünkü p ( N ) uzunluğuna kadar olası her bit dizesini numaralandırabilirsiniz ve hiçbiri girişi onaylamazsa, false değerini döndürün. Bazıları o zaman doğru döner.$\mathsf{NP}$$p(N)$$N$$\mathsf{NP}$$p(N)$

Resmi tanımlamaya kaydırmalıydınız :

$L$$p$$q$$M$

• $x$$M$$p(|x|)$$(x,y)$
• $x \in L$$y$$q(|x|)$$M(x,y) = 1$
• $x \not\in L$$y$$q(|x|)$$M(x,y) = 0$

Diğer bir deyişle, bir doğrulayıcı çözüm olmayanlar üzerinde de çalışmak zorundadır. Orada bir yerde, kararsız sorunlar başarısız olur (sizin durumunuzda, çözüm adaylarının uzunluk kısıtlaması muhtemelen yerine getirilmedi), (hesaplanabilirlik anlamında) daha net bir tanımla açıkça görülüyor :

NP, polinom zamanla çalışan deterministik olmayan bir Turing makinesi tarafından karar verilebilecek karar problemleri kümesidir.

Yukarıdaki cevabım için daha fazla detay vermeye çalışıyorum.

Aslında, bu soru bir ikilem sorunudur.

Bir yandan, Diophantine Denklem Problemi (DEP) Matiyesevich teoremine göre kararsızdır (Matiyesevich teoremi Hilbert'in onuncu problemini, Turing'in Halting problemi Hilbert'in onuncu problemini, yani, Entscheidungsproblem'i genelleştirir); ancak diğer taraftan, NP tanımına göre (karar verilebilir ve doğrulanabilir) NP'de tespit edilemez bir problem yoktur.

Yani, DEP NP'de değildir ya da DEP NP'dir. Her ikisi de NP tanımı ile ilgilidir.

Eğer DEP NP'de değilse, bu NP (NDTM D Tespit Edilmeyen Turing Makinesi) problemlerinin ölçülebilir ve doğrulanabilir olduğu anlamına gelir, yani P = NP (NDTM) kabul ediyoruz.

Eğer DEP NP ise, o zaman NP (NTM ＝ Turing Non Machine) reddedilebilir ve kararsız içeriyorsa, açıkça reddedilebilir doğrulanabilir, bu nedenle sorun doğrulanamaz doğrulanabilir mi? Aslında, P-NP'nin ünlü sorunu budur. Kuşkusuz, kararlaştırılamaz niteliktedir, bu nedenle NP, NDTM (Tespit Edilmeyen Turing Makinesi) yerine NTM'ye (Turing Yapma Makinesi) karşılık gelir.

DEP'nin öncülünde NP (NTM) olduğu için, NP'nin (NTM) tanımlanamayan bir sorun (kararsız) olduğunu ve NP'in (NDTM, karar verilemez ve doğrulanabilir) şu anki tanımının bu tanımlanamazlığı kaybettiğini düşünüyoruz. Sorgulanması gerektiğini düşünüyoruz.

Diophantine denklemi ile ilgili ortaya çıkardığınız ikilemin çok önemli olduğunu düşünüyoruz, çünkü NP'nin şu anki tanımında anormal bir şey ortaya koyuyor: - Eğer polinomda gerçekleşen problem için doğrulayıcı varsa ve NP'de olduğu söyleniyor. saati.

NP tanımı ile ilgili olarak, Polinom zamanında çözülebilen problemlerden bu problemleri tanımak için bunları çözmek için hiçbir polinom algoritmasının bulunamadığı çok sayıda uygulanabilir ve önemli problemin bulunduğu 60'lara kadar izlenebilir. (P), NP kavramı ortaya kondu.

Bununla birlikte, polinom zamanında doğrulanabilir olarak tanımlanan NP'nin şu anki tanımı NP ile P'yi karıştırmaktadır, çünkü P'deki bir problem polinom zamanında da doğrulanabilir. Başka bir deyişle, bu tanım, NP, «nondeterminisme» özünün kaybına yol açar. Sonuç olarak, NP'i anlamada ciddi belirsizliklere neden olur, örneğin ikileminiz: doğası gereği Diophantine denklemi sorunu çözülemez; ama NP tanımı ile, karar verilebilir,…

Bize göre, “P'ye karşı NP” çözme zorluğu öncelikle biliş düzeyindedir, bu nedenle “P'ye karşı NP” hakkında bir fikir edinmeyi umarsak ilk önce sormamız gereken soru: NP nedir?