Karatsuba, Gauss ve Strassen çarpımında ortak fikir

19

Tarafından çarpma algoritmalarında kullanılan kimlikler

Karatsuba (tamsayı)
Gauss (karmaşık sayılar)
Strassen (matrisler)

çok yakından ilişkili görünüyor. Ortak bir soyut çerçeve / genelleme var mı?

algorithms matrices

— sdcvvc
kaynak

3

Schönhage'in asimptotik toplam eşitsizliğine bakın.

— Yuval Filmus

Hangi kimliklerden bahsediyorsun? Yanıtlamak için her üç makaleyi de okumamız gerekiyor mu? Lütfen ilgili bilgileri sorunuza ekleyin.

— Raphael

1

@Raphael: Algoritmalar için temel olan, 3 çarpma ile 4 sayı çarpımı ve 7 ile 8 matris çarpımı ifade eden kimlikler.

— sdcvvc

5

Klasik çerçeve, bilinear algoritmalar ve tensör sırası ayrışmalarından biridir; temel olarak, katsayılara dayanarak , bilinear harita $f(A,B) = A \cdot B$ ilişkili 3 yollu tensörü inşa edersiniz , daha sonra sıralı bir tensörlerin toplamı olarak ayrışmasını ararsınız (yani, bir şekilde bu $T_{i,j,k} = u_i v_j w_k$ ). Bunu daha ayrıntılı olarak açıklayacaksınız, örneğin Bläser'in bu makalesinde veya Bürgisser, Clausen, Shokrollahi, Cebirsel Karmaşıklık Teorisi'nin kitabında.

Anladığım kadarıyla, Suresh'in cevabında bahsettiği grup sunumları açısından yeniden yapılanma daha sonraki bir konudur ve konuya ilk yaklaşım için daha az uygun buluyorum (ama elbette bu benim tarafımda önyargı olabilir ).

— Federico Poloni
kaynak

1

Bu doğru cevap. Eksik olan bir yön, hem Karatsuba'nın algoritmasının hem de hızlı (kare) matris çarpma algoritmalarının arkasındaki gerilme / bölme ve fethetme.

— Yuval Filmus

8

Sorunuza kısmi bir cevap ilk olarak Cohn ve Umans tarafından geliştirilen ve daha sonra Cohn, Kleinberg, Szegedy ve Umans tarafından geliştirilen grup teorik yaklaşımıdır . Matris çarpımı için Strassen ve Coppersmith-Winograd'ı yakalayabilir.

— Suresh
kaynak

Bu gerçekten noktayı kaçırıyor. Grup kuramsal yaklaşımı, ilk başta bu kimliklerle karşılaşmanın sadece bir yoludur.

— Yuval Filmus