{Ww | …} Bağlamdan bağımsız mı?

Dil tanımlayın olarak L = { a , b } * - { w w | w ∈ { a , b } * } . Başka bir deyişle, L , iki kez tekrarlanan bir kelime olarak ifade edilemeyen kelimeleri içerir. Mı L bağlamdan bağımsız mı değil mi?$L$$L = \{a, b\}^* - \{ww\mid w \in \{a, b\}^*\}$$L$$L$

Ben kesiştiği denedim ile bir * b * a * b * , ama hala ispat edemez şey. Parikh'in teoremine de baktım, ama yardımcı olmuyor.$L$$a^*b^*a^*b^*$

Bağlamdan bağımsızdır. İşte dilbilgisi:

A → a | a A a | a A b | b A b | b A a B → b | a B a | a B b | b B b | b B $S \to A | B|AB|BA$
$A \to a|aAa|aAb|bAb|bAa$
$B \to b|aBa|aBb|bBb|bBa$

ortada a ile tek uzunlukta sözcükler üretir. B ve b için aynı.$A$$a$$B$$b$

Bu dilbilgisinin doğru olduğuna dair bir kanıt sunacağım. Let (söz konusu dili).$L = \{a,b\}^* \setminus \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$

Teorem. . Başka bir deyişle, bu dilbilgisi sorudaki dili oluşturur.$L = L(S)$

Kanıt. Bu kesinlikle tüm tek uzunluktaki kelimeler için geçerlidir, çünkü bu dilbilgisi gibi tüm tek uzunluktaki kelimeler üretir . Öyleyse eşit uzunluktaki kelimelere odaklanalım.$L$

nin eşit uzunlukta olduğunu varsayalım . Bunu göstereceğim x ∈ L ( G ) . Özellikle, bu İstem X şekilde yazılabilir X = U v hem u ve v tek bir uzunluğa sahip ve farklı merkezi harfler vardır. Böylece x , A B veya B A'dan türetilebilir ( u'nun merkezi harfinin a veya b olmasına göre ). İddianın gerekçelendirilmesi: x'in i harfi$x \in L$$x \in L(G)$$x$$x=uv$$u$$v$$x$$AB$$BA$$u$$a$$b$$i$$x$ olarak gösterilmelidir , böylece x = x 1 x 2 ⋯ x n . O zaman x , { w w ∣ w ∈ { a , b } n / 2 } içinde olmadığından , x i ≠ x i + n / 2 olacak şekilde bir dizin i olmalıdır . Sonuç olarak u = x 1 ⋯ x 2 i alabiliriz $x_i$$x = x_1 x_2 \cdots x_n$$x$$\{ww \mid w \in \{a,b\}^{n/2}\}$$i$$x_i \ne x_{i+n/2}$ vev= x 2 i ⋯ x n ; merkez mektupuolacak x i ve merkez mektupvolacak x i + n / 2 , böylece inşaat tarafındanu,vsahip farklı merkezi harfler.$u = x_1 \cdots x_{2i-1}$$v = x_{2i} \cdots x_n$$u$$x_i$$v$$x_{i+n/2}$$u,v$

Sonra nin eşit uzunlukta olduğunu varsayalım . X ∈ L olması gerektiğini göstereceğim . Eğer X daha uzunluğa sahiptir, ya türetilebilen olmalıdır bir B ya da B , A ; genelliği kaybetmeden bu türetilebilen varsayalım bir B ve X = U v u 'den elde edilebilir olup , A ve V ' den elde edilebilir olup B . Eğer u , v aynı uzunluklara sahipse, o zaman u ≠ olmalı$x \in L(G)$$x \in L$$x$$AB$$BA$$AB$$x=uv$$u$$A$$v$$B$$u,v$ (bunlar farklı merkezi harf sahiptir), bu nedenle X ∉ { ağırlık ağırlık | a ∈ { a , b } * } . Yani varsayalım u , v uzunluk, farklı uzunluklara sahip söylemek ℓ ve n - ℓ sırasıyla. O zaman merkezi harfleri u ( ℓ + 1 ) / 2 ve v ( n - ℓ + 1 ) / 2'dir . Aslında$u\ne v$$x \notin \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$u,v$$\ell$$n-\ell$$u_{(\ell+1)/2}$$v_{(n-\ell+1)/2}$ farklı merkezi harflere sahip olduğu anlamına gelir u ( ℓ + 1 ) / 2 ≠ v ( n - ℓ + 1 ) / 2 . Yana X = U v bu araçlarının x ( ℓ + 1 ) / 2 ≠ x ( n + ℓ + 1 ) / 2 . Biz ayrıştırılması girişiminde x olarak x = ağırlık $u,v$$u_{(\ell+1)/2} \ne v_{(n-\ell+1)/2}$$x=uv$$x_{(\ell+1)/2} \ne x_{(n+\ell+1)/2}$$x$ Burada w , ağırlık ' aynı uzunluğa sahip, o zaman keşfedeceksiniz ağırlık ( ℓ + 1 ) / 2 = x ( ℓ + 1 ) / 2 ≠ x ( n + ℓ + 1 ) / 2 = W ' ( ℓ + 1 ) / 2 , yani w ≠ w ′ , yani x ∉ { w $x=ww'$$w,w'$$w_{(\ell+1)/2} = x_{(\ell+1)/2} \ne x_{(n+\ell+1)/2} = w'_{(\ell+1)/2}$$w\ne w'$ . Özellikle, bunu x ∈ L takip eder.$x \notin \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$x \in L$

Bu dil bağlamsızdır ve aşağıdaki makalede kanıtlanmıştır:

Tomaszewski, Zach. "Tekrarlanan Dize için Bağlamdan Bağımsız Bir Gramer." Bilgi ve Bilgisayar Bilimleri Dergisi , 2012 ( PDF ).

Dilbilgisi aşağıdaki gibidir: