Eşdeğer olmayan ikili matrislerin oluşturulması

0 veya 1 öğeleri ile tüm eşit olmayan matrisler (veya isterseniz ) inşa etmeye çalışıyorum. Eşdeğer matrisler veren işlem i ve j satır VE i ve j sütun eşzamanlı alışverişidir. Örneğin. için $8\times 8$ $n\times n$ $1\leftrightarrow2$

(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}) ~ (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

$\begin{equation} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$

Sonunda, her sınıfta kaç eşdeğer matris olduğunu saymam gerekecek, ancak bence Polya'nın sayım teoremi bunu yapabilir. Şimdilik her eşitsizlik sınıfında bir matris oluşturmanın algoritmik bir yoluna ihtiyacım var. Herhangi bir fikir?

algorithms combinatorics

— heterotik
kaynak

En azından var

Bunların

. Bu çok büyük bir rakam.

2^{64} / 8! \geq 2^{48}

$2^{64}/8! \geq 2^{48}$

— Yuval Filmus

2^{48}

$2^{48}$

2^{52}

$2^{52}$

Tüm bu matrislerle ne yapmak istiyorsun? Onları nerede saklayacaksın? Uygulama nedir?

— Yuval Filmus

fikir: bu grafik izomorfizm problemine çok benzemiyor mu? matrisler grafik kenarı matrisleridir? bunlar simetrik hariç ... belki bir şekilde kaldırabilir, bu konuda tonlarca teori var ...

— vzn

math.stackexchange.com/questions/924745/…

— orezvani

Bu soruyu cevaplamak için biraz ilerleme kaydettim. Başkalarının ilgilenmesi durumunda ve bu yapının (yönlendirilmiş) grafikler için bazı yararlılıkları olabileceğinden burada yayınlıyorum.

$a_0$ $a_1$ $a_8$ $\sum a_i=8$

({bir}_{1}, \dots, {bir}_{8}; T, S)

$(a_1,\cdots, a_8; T, S)$

1

$1$

0

$0$

0

$0$

\sum_{i = 1}^{8} a_{i} = 8 - a_{0}

$\sum_{i=1}^8 a_i=8-a_0$

Denemelerim ve hatalarmdan, bu parametreleştirmede iki matris farklıysa, o zaman farklı eşdeğerlik sınıflarına ait gibi görünüyor, bu nedenle her sınıfta bir temsilci oluşturmak için yukarıda açıklandığı gibi parametrelerin uzayını tarıyoruz.

(Güncelleme) Bu parametreleştirmenin kaba kuvvet hesaplamasıyla görülebileceği için n = 2 için iyi çalıştığı ancak n = 3 için iyi olmadığı ortaya çıktı. Hala cevabın yapısı hakkında bir fikir verdiğini düşünüyorum ve insanları en genel durumu kapsayacak şekilde değiştirmeye / genişletmeye davet ediyorum.

— heterotik
kaynak

1 \times 1

$1 \times 1$

2 \times 2

$2\times 2$

7 \times 7

$7 \times 7$

@DW: Bu durumun beni ve biraz yardım etmek istediğimi rahatsız eden bu durumun yeterli olduğunun kanıtı. Daha küçük vakalar için kapsamlı bir şekilde doğrulamayı deneyeceğim ve ne olacağını göreceğim. Tavsiye için teşekkürler! Ne yazık ki, karşı örnekleri aramak için bir SAT çözücü nasıl kullanılacağı hakkında hiçbir fikrim yok. Eğer varsayım, daha küçük matrisler için

— geçerliyse,

Mantıklı, Heterotik! Aslında, bir SAT çözücü kullanma hakkındaki ifademi geri alıyorum. Ben karşıdan örnekleri aramak için bir SAT çözücü kullanmayı bilmiyorum (ilk başta düşündüğümden daha zor) - bu yüzden lütfen yorumumun bu bölümünü göz ardı edin. Bunun için üzgünüm!

— DW

a_{i}

$a_i$

(1, 4)

$(1,4)$

(2, 3)

$(2,3)$

(1, 4)

$(1,4)$

(2, 4)

$(2,4)$ (her ikisi için 0 kalan tüm girişler) eşdeğer değildir ancak aynı parametrelendirmeye sahiptir. (Tabii ki bu hemen sütunları da dikkate alan iyileştirilmiş bir parametreleştirmeye yol açar.)

— FrankW

Heterotik, şimdi cevabınızın işe yaramadığını bildiğinize göre, cevabınızı silmenizi öneririm, bu yüzden başkalarını karıştırmaz ...

— DW