Grafiğin çapını bulmanın zaman karmaşıklığı

grafiğinin çapını bulma zaman karmaşıklığı nedir $G=(V,E)$?

• ${O}(|V|^2)$
• ${O}(|V|^2+|V| \cdot |E|)$
• ${O}(|V|^2\cdot |E|)$
• ${O}(|V|\cdot |E|^2)$

Bir grafik çapı $G$ bir grafik köşe çiftleri arasında en kısa yol mesafeleri kümesinin maksimumdur.

Bunun hakkında ne yapacağım hakkında hiçbir fikrim yok, böyle bir problemin nasıl çözüleceği konusunda tam bir analiz yapmalıyım.

Güncelleştirme:

Bu çözüm doğru değil.

Çözüm ne yazık ki ağaçlar için sadece doğru (ve basit)! Bir ağacın çapını bulmak bile buna ihtiyaç duymaz. Burada grafikler (çap, bu çekme durumunda, algoritma 3 döner 4 olduğu bir karşı-olduğu ):$v$

Eğer grafik yönlendirilirse, bu oldukça karmaşıktır, işte yoğun durumda tüm çiftler için en kısa yollar için algoritmalar kullanmaktan daha hızlı sonuçlar talep eden bazı yazılar .

Ancak benim ana nokta grafiği durumunda ilgili değil yönlendirilmiş ve negatif olmayan ağırlıklar ile, güzel bir hile birkaç kez duymuş:

1. Bir köşe seçmek $v$
2. Bul öyle ki d ( v , u ) maksimum$u$$d(v,u)$
3. Bul öyle ki d ( u , a ) en fazla$w$$d(u,w)$
4. Dönüş $d(u,w)$

Karmaşıklığı ardışık iki genişlik ilk arama ile aynı ¹, yani grafik bağlıysa .$O(|E|)$

Folklor gibiydi ama şu anda hala bir referans almak veya düzeltmesini ispatlamak için mücadele ediyorum . Bu hedeflerden birine ulaştığımda güncelleme yapacağım. O kadar basit görünüyor ki, şimdi cevabımı gönderiyorum, belki birileri daha hızlı cevap verecektir.

Grafiği ağırlıklı ise ¹, wikipedia söylemek gibi görünüyor ama hakkında sadece eminim Ç ( | E | günlüğüne | V | ) .$O(|E|+|V|\log|V|)$$O(|E|\log|V|)$

² Grafik bağlı değilse, alırsınız ancak bağlanan her bileşenden bir öğe seçmek için O ( α ( | V | ) ) eklemeniz gerekebilir . Bunun gerekli olup olmadığından emin değilim, bu durumda çapın sınırsız olduğuna karar verebilirsiniz.$O(|V|+|E|)$$O(α(|V|))$

$G$$G$

$\Theta(|V|^3)$$\cal{O}(|V|^2\log |V| + |V|\cdot|E|)$

$\cal{O}(|V|^2)$

$\text{diam}(G)$$t$$M=I+A$$M^t$$t$$O(\log n)$$O(M(n) \log n)$$M(n)$$O(n^{2.3727} \log n)$

$O(n^2)$

Varsayımlar:
1. Grafik ağırlıksız
2. Grafik yönlendirildi

O (| V || E |) zaman karmaşıklığı.

Algoritma:

ComputeDiameter(G(V,E)):
  if ( isCycle( G(v,E) ) ) then
     return INFINITY
  if ( not isConnected( G(V,E) )) then
     return INFINITY
  diameter = 0
  for each vertex u in G(V,E):
     temp = BFS(G,u)
     diameter = max( temp , diameter )
  return diameter

Açıklama:
Döngüyü kontrol ediyoruz. Eğer grafik döngü içeriyorsa, döngü içinde hareket etmeye devam edersek, sonsuz mesafeye sahip oluruz. Bağlı olup olmadığını kontrol ediyoruz. Eğer grafik bağlı değilse, bu G2'den G1'den v3'e kadar olan tepe noktası anlamına gelir. G1 ve G2'nin bağlı olmayan iki alt grafik olduğu durumlarda. Böylece tekrar sonsuz mesafeye sahip olacağız. BFS'yi, belirli bir düğüm (u) ile u'dan erişilebilen tüm diğer düğümler (v) arasındaki maksimum mesafeyi hesaplamak için kullanacağız. Daha sonra hesaplanan en fazla çapı ve alacağımız sonucu BFS ile alacağız. Bu yüzden mevcut maksimum çapa sahip olacağız.

Koşu zamanı analizi:

1. DFS kullanarak O (| E |)
2. DFS kullanarak O (| E |)
3. BFS, O (| E |) zamanında çalışır.
4. Her köşe için BFS işlevini çağırmamız gerekiyor, bu yüzden toplam O (| V || E |) zaman alacaktır.

Toplam süre = O (| v || E |) + O (| E |) + O (| E |)
| V || E | > | E |
bu yüzden O (| v || E |) olarak çalışma süremiz var.

BFS
DFS

Not: Bu, bu soruna zarif bir çözüm değildir.