Regex golf NP-Complete mi?

Bu son XKCD şeridinde ve bu son blog gönderisinde görüldüğü gibiPeter Norvig'den (ve ikincisini içeren bir Slashdot öyküsünden), "regex golf" (normal ifade ayırma problemi olarak daha iyi denebilir), A kümesindeki her kelimeyi kabul eden ve hiç kelimede olmayan en kısa normal ifadeyi tanımlama bulmacasıdır. set B. Norvig'in görevinde oldukça kısa bir aday oluşturmak için bir algoritma var ve yaklaşımının NP tamamlanmış bir Set Cover problemini çözmeyi içerdiğini belirtiyor, ancak yaklaşımının her olası düzenli ifadeyi dikkate almadığına dikkat etmesine dikkat ediyor. ve elbette onun mutlaka tek bir algoritma olması gerekmiyor, bu yüzden çözümlerinin optimal olacağı garanti edilmiyor ve ayrıca bazı kesin olarak polinom-zaman algoritmasının eşdeğer veya daha iyi çözümler bulabilmesi de mümkün.

Somutluk uğruna ve optimizasyon sorusunu çözmek zorunda kalmaktan kaçınmak için, Normal İfade Ayrımı'nın en doğal formülasyonunun şöyle olacağını düşünüyorum:

Verilen iki (sonlu) belirler ve herhangi bir alfabede dizeleri , uzunlukta bir düzenli ifade var her dizeyi kabul ettiğini ve her dize reddeder ?B Σ ≤ k A $A$$B$$\Sigma$$\leq k$$A$$B$

Bu ayrılık probleminin karmaşıklığı hakkında bilinen bir şey var mı? (Not belirttiğim beri o ve dizeleri sonlu kümeler olarak, sorunun büyüklüğü doğal kavramı tüm dizeleri toplam uzunlukları olan ve ; bu herhangi bir katkı bataklık ). Oldukça büyük olasılıkla bana o görünüyor olduğunu NP-tam (ve aslında, azaltma kapak sorunu çeşit olması beklenebilir) ama birkaç aramalar özellikle yararlı bir şey çıkmadı.B A B $A$$B$$A$$B$$k$

TCS'nin regex değişkenini varsayarsak, sorun gerçekten NP-tamamlandı.

Regex'lerimizin içerdiğini varsayıyoruz

• mektuplar , kendilerini eşleşen$\Sigma$
• , birliği ifade ediyor,$+$
• , birleştirme ifade eder,$\cdot$
• , Kleene-Star belirten,$*$
• , boş dizeyle eşleşiyor$\lambda$

ve başka hiçbir şey. Bir regex'in uzunluğu başlayan karakter sayısı olarak tanımlanır . Çizgi romanda olduğu gibi, kelimenin bir alt dizisiyle eşleşiyorsa, bir kelimeyle eşleşmesi için bir regex düşünürüz. (Bu varsayımların herhangi birinin değiştirilmesi, yalnızca aşağıdaki yapının karmaşıklığını etkilemelidir, ancak genel sonucu etkilemez.)$\Sigma$

NP'de olduğu açıktır, yorumlarda açıklandığı gibi (A adayı-RE'yi NFA'ya çevirip ve B'deki tüm kelimelerle çalıştırarak doğrulayın ).$A$$B$

NP sertliği göstermek için Set kılıfını azaltırız:

Bir evren Verilen ve koleksiyonu C alt kümelerinin U , bir dizi vardır C ' ⊆ C boyutu ≤ k böylece ⋃ S ∈ C ' S = U ?$U$$C$$U$$C' \subseteq C$$\leq k$$\bigcup_{S \in C'} S = U$

Set cover için bir girişi regex golf için aşağıdaki gibi çeviririz:

• , C'deki her alt küme için bir karakterve bir ek karakter içerir (aşağıdakilerde x ilegösterilir).$\Sigma$$C$$x$
• her bir eleman için bir sözcük içerir e ait U . Kelime kümeler temsil tam karakterlerden oluşan C içeren e (isteğe göre bir sırada).$A$$e$$U$$C$$e$
• tek x kelimesini içerir.$B$$x$
• basitçe taşınır.$k$

Bu azalmanın açıkça P cinsinden olduğu ve denkliğin de görülmesi oldukça basit:

• Eğer seti kapak örneğin bir çözümdür, regex c 1 + ⋯ + c k regex golf bir çözümdür.$c_1, \ldots, c_k$$c_1 + \cdots + c_k$
• Boş alt kelimeyle eşleşen bir regex, eşleşir . Bu nedenle, golf problemini çözen herhangi bir regex, A kelimelerinin her birinden en az bir harf içermelidir . Golf örneği çözülebilir ise Dolayısıyla, en fazla bir dizi var k gelen harfler Σ her kelime böylece A harflerinin bu sette kapsamındadır. Yapım gereği, C'den gelen alt kümeler kümesi, ayarlanan kapak örneğine bir çözümdür.$x$$A$$k$$\Sigma$$A$$C$