Saf lambda hesabında bir quine

Saf lambda hesabında bir kine örneği istiyorum . Google'da bir tane bulamadığım için oldukça şaşırdım. Quine sayfası , birçok "gerçek" dil için quines listeler, ancak lambda hesabı için değil.

Tabii ki, bu, aşağıda yaptığım lambda hesabındaki bir quine ile ne demek istediğimi tanımlamak anlamına geliyor. (Oldukça spesifik bir şey istiyorum.)

Birkaç yerde, örneğin Larkin ve Stocks (2004), aşağıdakileri "kendi kendini kopyalayan" bir ifade olarak görüyorum: . Bu, tek bir beta azaltma adımından sonra kendi kendine azalır ve bir şekilde kine benzeri bir his verir. Bununla birlikte, sonlandırılmaması, benzersiz değildir: daha fazla beta azaltma aynı ifadeyi üretmeye devam edecektir, bu yüzden asla normal forma indirgenmeyecektir. Bana göre bir quine kendini sonlandıran ve çıktısını veren bir program ve bu özellik ile lambda ifadesi istiyorum.$(\lambda x.x \; x)\;(\lambda x.x \; x)$

Elbette, redexes içermeyen herhangi bir ifade zaten normal formdadır ve bu nedenle kendiliğinden sona erecek ve çıkacaktır. Ama bu çok önemsiz. Bu nedenle, önemsiz olmayan bir çözümü kabul edeceği umuduyla aşağıdaki tanımı öneriyorum:

tanım (geçici): Lambda hesabındaki bir kine, ( belirli bir lambda hesabı ifadesi anlamına gelir formunun bir ifadesidir olur ya, normal biçimde azaltılmış değişken isimleri değişiklikler altında ona eşdeğer bir şey , herhangi giriş .

Lambda hesabının diğer diller gibi Turing eşdeğeri olduğu göz önüne alındığında, bu mümkün olmalı gibi görünüyor, ancak lambda hesabım paslı, bu yüzden bir örnek düşünemiyorum.

Referans

Larkin ve Phil Stocks Karşılaştırması. (2004) "Lambda Analizinde Kendini Kopyalayan İfadeler" Bilgi Teknolojisinde Araştırma ve Uygulama Konferansları, 26 (1), 167-173. http://epublications.bond.edu.au/infotech_pubs/158

Bir dönem istiyorum böyle :∀ M ∈ $Q$$\forall M \in \Lambda$

üzerinde başka bir kısıtlama belirtmeyeceğim (örneğin formu ve normalleşip normalleşmediği konusunda) ve size kesinlikle normalleştirilmemesi gerektiğini göstereceğim.$Q$

1. Varsayalım olduğu de normal formda. seçin (bunu yapabiliriz çünkü teoremin tüm için tutması gerekir ). Sonra üç vaka var.$Q$$M \equiv x$$M$

   • $Q$ bir atom . Sonra . Bu .$a$$QM \equiv ax$$a$
   • $Q$ bir uygulamadır . Sonra . hipotez ile normal bir formdur, bu nedenle de normal formdadır ve indirgenemez .$(RS)$$QM \equiv (RS)x$$(RS)$$(RS)x$$(RS)$
   • $Q$ bazı soyutlamadır ( serbest olması gerekiyorsa , basitlik için değişken özetleri ne olursa olsun eşdeğerini seçebiliriz ). Daha sonra . Yana normal formda, yani bir . Sonuç olarak biz azaltamaz için .$(\lambda x.A)$$x$$A$$M$$\lambda$$QM \equiv (\lambda x.A)x \rhd_\beta A[x/x] \equiv A$$(\lambda x.A)$$A$$A$$(\lambda x.A)$

   Yani böyle bir eğer varsa, bu uygulama olamaz içinde normal formda.$Q$

2. Bütünlüğü sağlamak için, varsayalım olan normal formu değil ama içinde , örneğin, (belki de zayıf normalize olan) normal formda olan şekilde : $Q$ $\exists N \in \beta\text{-nf}$$N \not\equiv Q$$\forall M \in \Lambda$

   $$QM \rhd_\beta Q \rhd_\beta N$$

   Daha sonra azaltma dizisi de olmalıdır , çünkü:$M \equiv x$$Qx \rhd_\beta Nx \rhd_\beta N$

   • $Qx \rhd_\beta Nx$ , mümkündür .$Q \rhd_\beta N$
   • $Nx$ normalleşmelidir, çünkü bir -nf'dir ve sadece bir atomdur.$N$$\beta$$x$
   • Eğer dışında bir normalize edildi , ardından iki sahiptir Kilise-Rosser teoremine bir doğal sonucu ile mümkün değildir -nfs. (Church-Rosser teoremi, aslında bildiğiniz gibi indirimlerin birbirine karıştığını belirtir.)N Q x $Nx$$N$$Qx$$\beta$

   Ancak yukarıdaki (1) argümanı ile mümkün olmadığına dikkat edin , bu nedenle normal bir biçime sahip olduğu varsayımız kabul edilebilir değildir.$Nx \rhd_\beta N$$Q$

3. Böyle bir izin verirsek, normalleştirmemesi gerektiğinden eminiz. Bu durumda, aldığı argümanı ortadan kaldıran bir birleştirici kullanabiliriz. Denis'in önerisi işe yarıyor: Sonra sadece iki redükte: $Q$

   $$Q \equiv (\lambda z.(λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x)))$$ $\beta$ $$\begin{align} QM &\equiv (\lambda z.(λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x))) M \\ & \rhd_{1\beta} (λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x)) \\ & \rhd_{1\beta} (λz.((λx.λz.(x x))(λx.λz.(x x))) \\ & \equiv Q \end{align}$$

Eğer bu durum sonuç çok şaşırtıcı değil edilir esasen ortadan kaldırır Herhangi bir bağımsız değişken aldığı bir dönem için soran ve bu sık sık sabit nokta teoremi doğrudan uygulama olarak belirtilen görmek bir şeydir.

Bir yandan bu imkansızdır, çünkü bir kinin kendi kodunu çıkarması beklenir ve saf lambda hesabı çıktı vermek için hiçbir araca sahip değildir.

Öte yandan, sonuçta ortaya çıkan terimin çıktı olduğunu varsayarsanız, her normal form bir kınadır.

Örneğin, lambda terimi zaten normal bir formdur, daha sonra çıktısının ortaya çıkan normal form olduğunu varsayarsak, çıktı . Bu nedenle bir kuindir.$(\lambda x. x)$$(\lambda x. x)$$(\lambda x. x)$

İşte bir öneri:

Bu seçim fonksiyonunun bir fixpoint olmak .$A$$f=\lambda t. (\lambda z.t)$

Bu, düzeltme noktası birleştiricisi ve .$Y=\lambda g.((\lambda x.g\ (x\ x))\ (\lambda x.g\ (x\ x)))$$A=Y f=(\lambda x.\lambda z.(x\ x))\ (\lambda x.\lambda z.(x\ x))$

Şimdi bir kın olduğunu gösteriyoruz . Gerçekten de azaltır bunun anlamı, bu yüzden herhangi bir için , .$A$$A$$\lambda z.A$$y$$(\lambda z.A)y \to_\beta A \to_\beta (\lambda z.A)$