Grafik Boyama Probleminin NP Bütünlüğü

Alternatif Formülasyon

Aşağıdaki soruna alternatif bir formülasyon buldum. Alternatif formülasyon aslında aşağıdaki problemin özel bir durumudur ve sorunu tanımlamak için iki taraflı grafikler kullanır. Bununla birlikte, alternatif formülasyonun hala NP-zor olduğuna inanıyorum. Alternatif formülasyon, problem tanımını basitleştiren, gelen ve giden düğümlerin ayrık bir setini kullanır.

Verilen giden ve gelen düğümleri (sırasıyla şekil kırmızı ve mavi düğümleri) ve bir dizi 'büyüklüğü s , gelen ve giden uçları arasında kenar ağırlıkları. Sorunun amacı, şekildeki kalın kenarları renklendirmektir, böylece her gelen düğüm için bir koşul geçerlidir. $n$ $n$ $w_{ij}$ $n \times n$

Problemin iki taraflı grafiği

Bir küme çıkış köşeleri, bir küme girdi köşe noktaları, ağırlıklar ve ' arasında ve pozitif bir sabit bul kenarlar için minimum renk sayısı (yukarıdaki şekilde kalın kenarlar), böylece tüm , $\{ O_i \; | \; i=1 \dots n \}$ $\{ I_i\; | \; i=1 \dots n \}$ $n \times n$ $w_{ij} \ge 0$ $O_i$ $I_j$ $i,j=1 \dots n$ $\beta$ $e_{ii}$ $j=1 \dots n$

$\frac{w_{j j}}{1 + \sum_{c (i) = c (j), i \neq j} w_{i j}} \geq β$ $\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}} \ge \beta$
burada kenarın rengini gösterir . $c(i)$ $e_{ii}$

Eski Formülasyon

Aşağıdaki sorun benim için NP zor görünüyor, ama gösteremedim. Sertliğini veya kolaylığını gösteren herhangi bir kanıt / yorum takdir edilmektedir.

düğümlü ve kenarlı , tam ağırlıklı bir yönlendirilmiş grafik olduğunu varsayalım . Let kenar ağırlığını göstermektedir ve gösterir kenar rengi . kenarlarının bir alt kümesi ve pozitif bir sabit verildiğinde amaç şudur: her için minimum renk sayısını bulun : $K_n=\langle V,E \rangle$ $n$ $n(n-1)$ $w_{ij} \ge 0$ $ij$ $c(ij)$ $ij$ $T \subseteq E$ $\beta$ $e_{ij} \in T$

$\frac{w_{i j}}{1 + \sum_{c (k l) = c (i j), k l \neq i j} w_{k j}} \geq β .$ $\frac{w_{ij}}{1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}} \ge \beta.$ ve $c (i j) \neq c (i k) f o r j \neq k$ $c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$

Yukarıdaki problemde sadece kenarların renklendirilmesi gerektiğini lütfen unutmayın . Sorun çözülebilir . $T$ $\mathcal{O}(|T|!)$

Güncelleme:

Tsuyoshi Ito'nun yorumundan sonra sorunu güncelledim. Payda yerine . Bu nedenle payda, dışındaki ağırlıkları da içerir . Bu yüzden tanımdaki grafiğin tamamını belirtmiştim. $1+\sum_{c(kj)=c(ij),k \neq i,e_{kj} \in T} w_{kj}$ $1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}$ $T$

Ayrıca için ek bir kısıtlama ekledim . Bu, bir düğümden giden kenarların farklı renklerde olması gerektiği anlamına gelir (ancak gelen renkler eşitsizliğin sahip olduğu sürece aynı olabilir). Bu, düğümlerin maksimum dış derecesi olan renk sayısına sezgisel bir alt sınır koyar . $c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$ $T$

Tsuyoshi'nin belirttiği gibi, ', ve soruna girdi ve kenar renkleri çıktıdır. $w_{ij}$ $T$ $\beta$

Güncelleme 2:

Sorun ve kenarlarının aynı renkte olmasını . $e_{ij}$ $e_{ji}$

— Helyum
kaynak

@Raphael: Normalde, bir kenar renklendirme sorunu azaltma için iyi bir aday gibi görünüyor. İndirgeme için en basit np-zor problemini bulmak en zor kısımdır. Bir sonraki adım haritalama için uygun ağırlıkları bulmaktır. Bir kenar renklendirme problemi yukarıdaki probleme indirgenirse, ağırlıklar 0/1 gibi olmalı veya ağırlıkları bulmak için bir eşitsizlik sistemini çözmemiz gerekiyor.

— Helyum

Sorunun formülasyonu hakkında birkaç yorum: (1) Girdi nedir? Bence giriş tüm kenarlar için W_ij, T ve β, ama eğer öyleyse, aynı şekilde verildiği gibi w_ij ve c (ij) tanımlamamalısınız. (2) Ne yazdığınızı anladığım için, T dışındaki kenarlara asla başvurulmaz. Bu nedenle, T yönündeki grafiğin tamamını düşünmek yerine, T'deki kenarlardan oluşan yönlendirilmiş grafiği tanımlamak daha kolaydır.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: Yorumlarınız için teşekkürler, soruyu güncelledim.

— Helyum

Bu arada, sorun bana oldukça dağınık görünüyor. Bu soruna nasıl ulaştığınızı açıklarsanız (başka bir deyişle, bu soruna neden ilgi duyuyorsanız), başkalarının sorunu anlamasına yardımcı olabilir.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: 1) Sorun, kablosuz geçici ağlarda zamanlama için özel bir durumdur. , iletim setini belirtir ve ağırlıklar sinyal zayıflama katsayılarını temsil eder. Yumruk kısıtı aynı zamanda sinyal / parazit artı gürültü oranını da ifade eder. 2) “payda sadece T'deki kenarların ağırlıklarını içeriyor” şimdi silindi.

T

$T$

— Helyum

Yanıtlar:

Alternatif formülasyonun NP-sert olduğunu göstermek oldukça basittir. İndirgeme köşe renklendirme probleminden kaynaklanmaktadır. köşeli bir grafik G verildiğinde , çıkış köşeleri ve giriş köşeleri ile yukarıdaki sorunun bir örneğini oluşturuyoruz . Aşağıdaki gibi ağırlıklar ayarlanır: Her için , izin . İçin tepe noktası arasında bir kenar varsa, ve tepe , izin başka, izin . Ayrıca, . $n$ $n$ $n$ $i$ $w_{ii}=1$ $i \neq j$ $i$ $j$ $w_{ij}=w_{ji}=1$ $w_{ij}=w_{ji}=0$ $\beta=1$

Bu oldukça açıktır ancak azalmanın neden doğru olduğunu açıklamak zordur. Let grafik renklendirme ve örneği göstermektedir sorun indirgenmiş örneğini göstermektedir. Yukarıdaki azalmanın doğru bir çözüm olduğunu göstermek için (1) için geçerli her renklendirmenin için de geçerli olduğunu göstermemiz gerekir. (2) tarafından verilen cevap için minimumdur . $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$

Eğer ve iki bitişik noktalar vardır , daha sonra farklı renkler sahip olması gereken . Çünkü ve bitişikse ve aynı renge sahiplerse, , sonuçlanır ; burada , pozitif bir değere sahiptir. Bu nedenle, koşul tutmaz. Ayrıca, için her geçerli (ancak zorunlu olarak minimum değil) renklendirme de için geçerli bir renklendirmedir . Geçerli bir renklendirmesi $i$ $j$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $i$ $j$ $\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}}$ $\frac{1}{1+X}$ $X$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ , her bitişik düğüm çifti farklı renklere sahiptir, bu nedenle koşul , çözümdeki 'nin tüm renkli kenarları için geçerlidir . nin her renklendirmesi için geçerli bir renklendirme olduğundan için minimum çözüm için de minimal bir çözüm olmalıdır . Aksi takdirde, minimal bir çözüm değildir çünkü çözümü daha az sayıda renge sahip bir çözüm sunar. $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$

— Helyum
kaynak

DÜZENLEME : Aşağıdaki yapı pek işe yaramıyor, Tsuyoshi Ito'nun aşağıdaki yorumuna göre, . Yine de yararlı bir başlangıç olması durumunda bırakıyorum. Ayrıca, , ağırlıklı kemerler içermemelidir . $c(ij)=c(ji)$ $T$ $0$

Mohsen önerilenlerle birlikte, grafik dönüştürmek, kenar boyama ile başlar bir digraph için aynı köşe sette burada Elimizdeki ve içinde , her arklar elde ağırlığı (şu anda) , daha sonra eklenti ve ile ile , ayar için ve . $G=(V,E)$ $D=(V,A)$ $\forall uv\in E$ $(u,v)$ $(v,u)$ $A$ $a \in A$ $w_{a} = 1$ $\forall xy \notin E$ $(x,y)$ $(y,x)$ $A$ $w_{xy}=w_{yx}=0$ $\beta$ $1$ $T=A$

Bu durumda, yalnızca aynı tepe noktasında iki olay aynı renge sahip değilse, orijinal grafikteki kenarlardan gelmeyen yaylar dikkate alınmazsa ( ağırlığı olduğu için) koşul yerine getirilir . Bu renklendirme daha sonra orijinal grafik için uygun bir renklendirmeye dönüştürülebilir. $0$

Teknik olarak orijinal probleminizi bir karar problemine dönüştürdüm ("grafik renklerle renklendirilebilir mi?"), Ancak bunun yine de sığması için yapılması gerekiyordu ve bir polinom ile etkili bir şekilde değiştirilebilir. $k$ $NP$

Bence bu işe yarıyor mu, yoksa olmak için başka bir şey gösterdim mi? ;) $NP$

— Luke Mathieson
kaynak

C (ij) = c (ji) 'yi nasıl uygularsınız? Doğru anlarsam, söz konusu problemde bu mutlaka doğru değildir.

— Tsuyoshi Ito

İyi bir nokta. Sorunu not etmek için orijinal yayını düzenleyeceğim.

— Luke Mathieson