Bu fonksiyon neden hesaplanabilir

Ders kitabım şöyle diyor: "İşlevi tanımlarız $f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ aşağıdaki gibi: $f(1)=2$ ve $f(i+1)=2^{f(i)^{1.2}}$. Verilen not$n$, kolayca bulabiliriz $O(n^{1.5})$ zaman numarası $i$ öyle ki $n$ arasında sandviç $f(i)$ ve $f(i+1)$."

Kendimi aslında kolayca bulabileceğimize nasıl ikna edebilirim $i$ içinde $O(n^{1.5})$Zaman? Gibi$f$ özyinelemeli olarak tanımlanır, bence hesaplamak zorundayız $f(1),f(2),f(3)\dots f(j)$ a kadar $f(j)\geq n$. Bu hesaplamaların ne kadar zaman alacağını bulmak için, bence uygun bir üst sınır bulmak zorundayız.$i$ bağımlı $n$ ve işlevin yürütme süresinde bir üst sınır bulmalıyız $x\to2^{x^{1.2}}$. Sonunda, umarım alıntılanan teklifi gösterebiliriz. Ne yazık ki, ne bir şey ne de diğeri görmüyorum.

Söylemeyi unuttum: Belirsiz bir bağlamda olduğumuzu lütfen unutmayın. Yani$f$ hesaplanabilir olduğu iddia ediliyor $O(n^{1.5})$ Belirsiz bir Turing makinesi tarafından.

Çok az insan bu soruyu zaten okuduğundan, bazıları da yararlı ve ilginç buluyor, ancak kimse şimdiye kadar cevaplamadı, bağlam hakkında biraz daha bilgi vermek istiyorum: Alıntılanan iddia, kanıtın ayrılmaz bir parçasıdır. belirleyici olmayan zaman hiyerarşisi teoremi. Kanıt (iddia ile) örneğin Arora ve Barak'ın kitabında bulunabilir, ancak aynı kanıtı sunan Web'de de birkaç kaynak buldum. Bunların her biri iddiayı kolay veya önemsiz olarak nitelendirir ve nasıl bulunacağı konusunda ayrıntılı bilgi vermez$i$ içinde $O(n^{1.5})$saati. Yani ya tüm bu kaynaklar Arora ve Barak'dan kopyalandı ya da iddia o kadar da zor değil.

Gösteren: $|x|$ bir sayının uzunluğu $x$, yani $\lfloor \log_2 x \rfloor + 1$ (için $x > 0$). Hesaplanıyor$2^x$ zaman gerektirir $O(x)$ RAM modelinde, ve böylece $f(i+1)$ itibaren $f(i)$ zaman alır $O(f(i)^{1.2}) = O(|f(i+1)|)$. Dan beri$f(i)$ geometrik olarak daha hızlı büyüyor, toplam hesaplama süresi $f(i+1)$ dır-dir $O(|f(i+1)|)$. İşaret ettiğiniz gibi, bunu yapmanız gerekir$f(i+1) \geq n$yani $f(i) < n$. Bu nedenle toplam çalışma süresi$O(|f(i+1)|) = O(f(i)^{1.2}) = O(n^{1.2})$.

Turing makinesi modelinde tek bir bantla, hesaplama $2^x$ zaman alır $O(x\log x)$ve böylece toplam çalışma süresi $O(n^{1.2} \log n) = O(n^{1.5})$. Hesaplama algoritması$2^x$ cümledeki $[x]$ tarafından $1[[x]]$ (buraya $[x]$ ikili temsili $x$, ve $[[x]]$ farklı rakamları kullanan ikili gösterimdir $0',1'$) ve daha sonra dönüşümü tekrar tekrar çalıştırır $[[x]] \longrightarrow 0[[x-1]]$, bu zaman alır $O(|x|) = O(\log x)$.