P ≠ NP varsayımıyla NP tam problemlerinin algoritmalarına çalışma zamanı sınırları

varsayın . $P\neq NP$

Tüm NP-tamamlama sorunlarının çalışma zamanı sınırları hakkında ne söyleyebiliriz?

yani herhangi bir NP-tam problemi için en uygun algoritmanın en az zamanında çalışacağını garanti edebileceğimiz gibi en sıkı fonksiyonlar nelerdir? ve en fazla uzunluğunda bir girdi ? $L,U:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ $\omega(L(n))$ $o(U(n))$ $n$

Açıkçası, . Ayrıca, . $\forall c:L(n)=\Omega(n^c)$ $U(n) = O(2^{n^{\omega(1)}})$

Varsayarak olmadan , veya ima edilmez başka varsayım , hakkında daha iyi sınır verebilir ? $QP\neq NP$ $ETH$ $P\neq NP$ $L,U$

DÜZENLE:

en az birinin burada verdiğim sınırlardan uzak olması gerektiğine dikkat edin, çünkü NPC problemleri olduğundan, bu problemlerin birbirleri arasında poli zaman azalması vardır, bu da bazı NPC problemlerinin en uygun zaman , tüm sorunların çalışma zamanı algoritması (optimal veya değil . $L,U$ $f(n)$ $O(f(n^{O(1)}))$

— RB
kaynak

P NP çalışma zamanı sınırlarının herhangi bir polinomdan daha büyük olduğunu söyleyebiliriz .... afaik hayır, daha iyi sınırlar bilinmemektedir .... çok fazla gösterim chg yok ... orada süperpolinom-var- var üstel fonksiyonlar, örneğin

\neq

$\neq$

2^{\log n}

$2^{\log n}$

— vzn

İlk olarak, sadece doğrusaldır, bu yüzden sanırım sınıfı olarak bilinen demek istediniz . Tamamen fark üstel zamanda çalışacak herhangi NP-tam fonksiyon anlamına gelmez, ama ben soruyorum ne değildir. Örneğin, varsayarsak , bir NPC sorununun da çözülebilmesi mümkün mü , burada ters Ackermann fonksiyonudur? Gösterimler sadece sorum resmen ifade etmek için kullanılan bir araçtır ..

2^{\log n}

$2^{\log n}$

2^{p o l y l o g (n)}

$2^{polylog(n)}$

Q P

$QP$

P \neq N P

$P\neq NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

2^{l o g (n) \cdot l o g^{*} (n)}

$2^{log(n)\cdot log^*(n)}$

l o g^{*} (n)

$log^*(n)$

— RB

düzeltme için teşekkürler. afaik bu alanda çok az şey bilinmektedir. bu soruyu deneyin NTime (n ^ k) =? DTime (n ^ k) tcs.se

— vzn

@RB Her "olası dünyada" kabaca birbirlerinin bir polinomu içinde olan alt ve üst sınırların olduğu doğru olmakla birlikte, a priori sınırların mümkün olduğu açık değildir .

— Yuval Filmus

Soruya ilişkin yorumum, göreli dünyalardaki olasılıkları soruyor . Bazı göreli dünyada olduğunu varsayalım . NP-tam sorunlarının zaman karmaşıklığı hakkında önemsiz bir şey çıkarabilir miyiz? Baker-Gill-Solovay argüman üst soru verilen sınırın yüzden "kuvvet" Bazı NP problemi, üstel zaman gerektirecek şekilde olabilir gösterileri esasen en uygunudur. $P \neq NP$

Alt sınır ile ilgili olarak, bazı kehanetlere göre kanıtını . Kabataslak kanıtın doğru olduğunu varsayarsak, bunu den daha küçük fonksiyonlara da uygulayabiliriz ve bu da soruda verilen alt sınırın da aslında sıkı olduğunu gösterir. $NP = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$ $2^{O(\log^2 n)}$

Kanıt kroki. iki inşa : ilki problem gibi davranır ve ikincisi Baker – Gill – Solovay köşegenleştirmesini uygular. Her iki kehaneti tek bir kehanette toplamak kolaydır. $O_1,O_2$ $\mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$

Oracle tüm çiftlerinden oluşur şekilde kabul eden bir torpil Turing makinesidir saati içinde erişim verildiğinde Kehanetlerini en uzunluğunun girişlerine sınırlı . (Bu dairesel bir tanım değildir.) $O_1$ $\langle M, x \rangle$ $M$ $x$ $2^{2^{\sqrt{\log |x|}}}$ $O_1,O_2$ $2^{\sqrt{\log |x|}}$

Kehanet , kehanetin Baker – Gill – Solovay'da tanımlandığı şekilde tanımlanır: her saatli kehanet Turing makinesi zamanında çalışırız, bazı girdiler buluruz uzunluğu çalıştırmak "el değmemiş" bir, ile için adımları, ve her bir sorgu için büyüklüğü , bu giriş olmadığını işaret (diğer sorguları için ayrıca giriş olmadığını işaretlemek , zaten olduğuna karar ). İçin Sorgular için örtülü sorgular gibi (benzer işlenir $O_2$ $M$ $T = 2^{o(\log^2 n)}$ $n$ $M$ $1^n$ $T$ $O_2$ $n$ $O_2$ $O_2$ $O_1$ $O_1,O_2$ daha küçük boyutlu, özyinelemeli olarak ele alınır); , bu tür sorguların içinde uzunluk dizelerinden asla bahsetmediğine dikkat edin . Makine kabul ederse, biz uzunluğunun diğer tüm dizeleri işaretlemek içinde aksi takdirde biz uzunlukta birkaç ip almak, eksik olarak ve koyun . $n$ $O_2$ $2^{\sqrt{\log T}} < n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$

Sınıf zaman içinde çalışan tüm programlar oluşmaktadır , sorgular hale büyüklüğü . Sınıf formdadır , olduğunu ve bu yüzden zamanında çalışan ve boyutunda Oracle sorguları yapan tüm programların sınıfında bulunur . İkincisi , çünkü karar vermek için kullanabiliriz . Bu gösteriyor ki $P^{O_1,O_2}$ $2^{2^{O(\sqrt{\log n})}}$ $O_1,O_2$ $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $NP^{O_1,O_2}$ $x \mapsto \exists |y|<n^C \varphi(x,y)$ $\varphi \in P^{O_1,O_2}$ $2^{n^C}$ $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $\mathrm{TIME}(2^{\log^2 n^C})^{O_1,O_2}$ $O_1$ $NP^{O_1,O_2} \subseteq \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$ .

Diğer yönü için, izin oluşur dili her biri için , öyle ki uzunluğunun bir kısmı dizesini içerir . Yapımı ile , , süre açıkça . Bu, . $L$ $1^n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$ $L \notin \mathrm{TIME}(2^{o(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$ $L \in NP^{O_1,O_2}$ $NP^{O_1,O_2} = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$

— Yuval Filmus
kaynak

Cevabınızı tam olarak anlamadığımı itiraf etmeliyim, ancak belirttiğiniz gibi, NP-tam bir problem sadece çözülebilirse, diğer tüm NPC problemleri de sadece çözülebilir , çünkü poli zaman azalması vardır, aksi takdirde için daha iyi bir algoritmaya sahip olursunuz . Bu, örneğin anlamına gelir ve değil mi? Neyi kaçırıyorum?

Π

$\Pi$

Ω (2^{n^{c}})

$\Omega(2^{n^c})$

Ω (2^{n^{Ω (1)}})

$\Omega(2^{n^{\Omega(1)}})$

Π

$\Pi$

Π

$\Pi$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

E T H

$ETH$

— RB

Eh, ima etmiyor , ama ima edebileceği anlaşılıyor .

E T H

$ETH$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

— RB

Hiçbir şey kaçırmıyorsunuz. ETH'nin doğru olduğu göreceli bir dünya var. P = NP'nin ve özellikle ETH'nin yanlış olduğu başka bir göreli dünya var.

— Yuval Filmus

Fakat , de doğru olduğu tüm ayırt edici dünyalarda değil , değil mi? olma ihtimali vardır . Cevabınızdan anladığım kadarıyla, eğer , alt sınırı üstel olan bir NPC sorunu var ve bunun neden doğru olduğunu merak ediyorum.

P \neq N P

$P\neq NP$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

P ⊊ Q P = N P

$P\subsetneq QP = NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

— RB

Cevabımda, olan göreceli bir dünya veriyorum . Göreli bir başka dünyada . Yine diğer göreli dünyalarda, . ilgili olarak , hiçbir şey iddia etmiyorum.

N P = T I M E (n^{O (\log n)})

$NP = \mathrm{TIME}(n^{O(\log n)})$

N P = T I M E (2^{n^{O (1)}})

$NP = \mathrm{TIME}(2^{n^{O(1)}})$

P = N P

$P=NP$

Q P

$QP$

— Yuval Filmus

P ≠ NP varsayımıyla NP tam problemlerinin algoritmalarına çalışma zamanı sınırları

Varsayarak olmadan , veya ima edilmez başka varsayım , hakkında daha iyi sınır verebilir ?E T H P ≠ N P L , UQP≠NPQP≠NPQP\neq NPETHETHETHP≠NPP≠NPP\neq NPL,UL,UL,U

Varsayarak olmadan , veya ima edilmez başka varsayım , hakkında daha iyi sınır verebilir ? $QP\neq NP$ $ETH$ $P\neq NP$ $L,U$