Yalancı ters matris bulmanın karmaşıklığı

Keyfi bir alanın Moore – Penrose psödoinverse matrisini bulmak için kaç aritmetik işlem gerekir ?

Matris ters çevrilebilir ve karmaşık değerliyse, bu sadece tersidir. Tersi bulmak $O(n^\omega)$ zamanını alır, burada $\omega$ matris çarpma sabiti. Algoritmalara Giriş 3. Baskıda Teorem 28.2'dir.

matrisi $A$ doğrusal olarak bağımsız satırlara veya sütunlara sahipse ve karmaşık değerli ise, psödoinverse matris sırasıyla $A^*(A A^*)^{-1}$ veya ile hesaplanabilir , burada , eşlenik devri . Özellikle, yalancı tersini bulmak için bir süresi anlamına gelir . $(A A^*)^{-1}A^*$ $A^*$ $A$ $O(n^\omega)$ $A$

Genel matris için, gördüğüm algoritmalar , en kötü durumda $O(n^3)$ aritmetik işlemlerini alıyor gibi görünen QR ayrışma veya SVD kullanır . Daha az işlem kullanan algoritmalar var mı?

algorithms linear-algebra

— Chao Xu
kaynak

Bir takibim var, Çok basit olabilir, ancak burada karmaşıklık denkleminde n'nin ne olduğunu teyit edebilir misiniz ? Bir matrisin boyutu mu ve matris kare değilse?

— Mike Pomp

Tersin zamanında bulunabileceği iddiasında , gerçekten kare matrisin boyutudur; matris kare değilse, büyük olasılıkla daha büyük boyut olarak alabilirsiniz.

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$

n

$n$

n

$n$

— David Richerby

Bu kolay bir soru olduğundan, burada cevapladım. Ancak, başka sorularınız varsa, lütfen sayfanın üst kısmındaki "soru sor" düğmesini kullanarak kendi başlarına bir sayfa olarak sorun. Bağlam vermek için bu sayfaya tekrar bağlayabilirsiniz. Bu site sayfa başına yalnızca bir soru için hazırlanmıştır: aldıkları oylara göre iş parçacığı ve yayınlar hareket etmemektedir, bu nedenle sayfadaki birden fazla soru ile işler çok dağınık hale gelir. Kısa turumuzda ve yardım merkezimizde daha fazla bilgi var .

— David Richerby

Her şeyden önce, insanlar omega'nın sonsuz olduğunu unutmaya eğilimlidirler . yazdığımızda , aslında tüm için kastediyoruz , zamanında çalışan bir algoritma vardır . $\omega$ $O(n^\omega)$ $\gamma > \omega$ $O_\gamma(n^\gamma)$

Keller-Gehrig bir matris sunmayı kadar (başka arasında) gösterdi içinde seviye normal formda zamanlı . Eğer seviye olan , daha sonra, bir sıra, normal bir şekilde olduğu bazı tersi için , uygun boyutlarda; ayrıca bkz. Cebirsel Karmaşıklık Teorisi, Öneri 16.13, sayfa 435. $A$ $O(n^\omega)$ $A$ $r$ $A$

S (\begin{matrix} {ben}_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) T

$S \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} T$

S, T

$S,T$

Derece, normal bir şekilde Ara makalede belirtilen seviye ayrışma benzer, burada vardır sütunlar ve sahip satır. Gerçekten de, sunar ilk olmak sütunları ve ilk olmak sıraları . Bu ayrışma göz önüne alındığında, Wikipedia sadece Hermitian eşlenik, matris çarpımı ve ters matris kullanarak yalancı ters için bir formül verir. Bu nedenle psödoinvers zamanında hesaplanabilir . $A = XY$ $X$ $r$ $Y$ $r$ $X$ $r$ $S$ $Y$ $r$ $T$ $O(n^\omega)$

— Yuval Filmus
kaynak

Cevap için teşekkür ederim! Gazeteyi aldım ve arka plandan yoksun olduğumu gördüm. Bu tür sonuçlarla ilgili iyi tanıtımlar / anketler var mı? Cebirsel Karmaşıklık Teorisi kitabının iyi olduğunu biliyorum ama şu anda kütüphaneden kontrol

— Chao Xu

İlgili ders notları olabilir, ancak muhtemelen kitaba bir göz atmak en iyisidir. CLRS (Algoritmalara Giriş) ayrıca matris çarpımı ve ters matris arasındaki eşdeğerlik gibi bazı ilgili materyaller içerir.

— Yuval Filmus

Yani genel olarak tutar? "Matrix çarpma sabiti" ne olduğuna dair bir ipucu verebilir misiniz ?

O (n^{ω})

$O(n^ω)$

w

$w$

— ben

değerini bilmiyoruz . Le Gall nedeniyle en iyi üst sınır . olduğu varsayılmaktadır .

ω

$\omega$

ω < 2.3728639

$\omega < 2.3728639$

ω = 2

$\omega = 2$

— Yuval Filmus