Minimum hareket sayısı ile sayıları eşleştirmek için algoritma

Bu bir çeşit mesafe düzenleme sorusudur ve çok kolaydır. Bu konuda sadece beyin ölüyüm ve şimdiye kadar çözemiyorum.

---

Bir dizi sayı verildiğinde, ör.

[3, 1, 1, 1]

Minimum sayı "hamle" sayısıyla tüm sayılar nasıl en verimli şekilde aynı sayıya dönüştürülür? "Hareket", bir sayıya bir tane eklemek veya çıkarmak anlamına gelir.

Yukarıdaki örnekte, en etkili hamleler şöyledir:

[1, 1, 1, 1]

Bu, ilk hamleyi iki kez azaltarak 2 hareket gerektirir.

Yüzlerce sayının çok daha büyük dizileri göz önüne alındığında, bunu bulmanın en iyi yolunu bulamıyorum.

Başlangıçta yuvarlatılmış ortalama sayıyı hesaplamaya çalıştım (toplamın uzunluğa bölünmesi) ve daha sonra bunları hesaplanan ortalamaya düşürdüm, ancak yukarıdaki örnek 2 yerine 4 hareket gerektiren bunu kırdı.

Sanırım anlayabilirim:

1. Ortalama,
2. Mod,
3. Ortanca

ve minimum mesafeyi seçerek her birinin düzenleme mesafesini alın. Ancak, bunun her durumda doğru olacağından emin değilim. Nasıl bilebilirim?

Cevap medyan almaktır. Medyanın özelliklerinden biri, her bir elemente L1 mesafesini en aza indirmesidir . (Wikipedia makalesini anlamak için, orijinal sayı diziniz üzerindeki eşit dağılımın olasılık dağılımını alın).

Sorunu çözen algoritma (başlangıçta dc2 tarafından yazılmıştır ):

function median(arr) {
  arr.sort(function(a, b) { return a - b; });
  var half = floor(arr.length/2);
  if ( arr.length % 2 ) {
    return arr[half];
  } else {
    return (arr[half-1] + arr[half]) / 2.0;
  }
}

function minl1(arr) {
  var moves = 0;
  var mdn = median(arr);
  for ( var i = 0; i < arr.length; ++i ) {
    moves += Math.abs(mdn - arr[i]);
  }
  return moves;
}

minl1([3, 1, 1, 1]); // -> 2

TCSGrad bahseder gibi, tamsayılar listesi verildi , sen tamsayı aradığınız m minimize Í ( m ) = n Σ i = 1 | m - x i | . Δ ( m + 1 ) - δ ( m ) ' nin hesaplanması öğreticidir : δ ( m + 1 ) - δ ( m ) $x_1,\ldots,x_n$$m$

$$\delta(m) = \sum_{i=1}^n |m - x_i|.$$ $\delta(m+1) - \delta(m)$ Şöylemgider-∞için+∞, miktarδ(m+1)-δ(m $$\delta(m+1) - \delta(m) = \sum_{i=1}^n \begin{cases} +1 & m \geq x_i \\ -1 & m < x_i \end{cases} = \#\{i : m \geq x_i\} - \#\{i : m < x_i\}.$$ $m$$-\infty$$+\infty$$\delta(m+1) - \delta(m)$gider için n . Ayrıca, değerleri yalnızca x 1 , … , x n noktalarında değiştirir . Optimum m değerinin δ ( m + 1 ) - δ ( m ) ≥ 0 olduğu minimum nokta olup olmadığını kontrol etmek zor değildir . Bu minimum nokta x i'den biridir , bu nedenle düzenleme mesafesi min ( δ ( x 1 ) , … , δ ( $-n$$n$$x_1,\ldots,x_n$$m$$\delta(m+1) - \delta(m) \geq 0$$x_i$ .$\min(\delta(x_1),\ldots,\delta(x_n))$

$x_i$$n$$m$$x_i$$\delta(m+1) - \delta(m) = 1$$\delta(m) - \delta(m-1) = -1$$m$$n$$x_i$$\delta$$x_i$

Sorun bir LP problemi olarak formüle edilebilir:

$n$$[a_1,a_2... a_n]$

$$\min \sum |a_i - x|$$

$x$

$x$$x$

DÜZENLEME : Yorumlarda belirtildiği gibi, amaç işlevi mutlak farklılıklar üzerinden toplanmalıdır. Standart bir LP'ye dönüştürmek için LP'yi şu şekilde yeniden yazabiliriz:

$$\min \sum a'_i$$

tabi:

$$a'_i \geq a_i - x\ \forall i$$ $$a'_i \leq a_i - x\ \forall i$$ $$a'_i, x' \geq 0\ \forall i$$

$a_i' = | a_i - x|\ \forall i$$x$