Farklı normal dillerin sayısı

Bir alfabe Verilen , bu bir tarafından kabul edilebilir orada kaç farklı düzenli dillerdir -devlet olmayan deterministik sonlu otomat? $\Sigma = \{ a,b \}$ $n$

Örnek olarak ele alalım . Daha sonra farklı geçiş konfigürasyonumuz ve farklı başlangıç ve bitiş durumu konfigürasyonumuz var, bu yüzden farklı dilden oluşan bir üst sınırımız var . Bununla birlikte, bunların çoğu eşdeğer olacaktır ve bunun için test PSPACE-Complete olduğundan, muhtemelen her ayarı test etmek mümkün değildir. Belirli bir kaynak tarafından kabul edilen farklı dil sayısını sınırlayan başka araçlar veya birleştirici argümanlar var mı? $n=3$ $2^{18}$ $2^3$ $2^{24}$

— john_leo
kaynak

Sadece 3 farklı başlatma durumu yapılandırması vardır,

değil .

2^{3}

$2^3$

— FrankW

Hızlı fikir: normal diller, Myhill-Nerode gibi son derece çok denklik sınıfıyla karakterize edilir.

-state otomatını kaç farklı denklik sınıfı seti destekleyebilir?

n

$n$

— Raphael

Domaratzki, Kisman ve Shallit tarafından hazırlanan "n eyaletli sonlu otomata tarafından kabul edilen farklı dillerin sayısı" makalesi için google yararlı olabilir.

— Hendrik

İşte kağıt

— citeseer

tcs.se ile hemen hemen aynı soruyu buldu: n boyutunda bir DFA tarafından kabul edilen dil sayısı nedir?

— vzn

Bu, Sonlu Otomata'nın n Durumuyla Kabul Edilen Farklı Dillerin Sayısı konulu makalenin bir özetidir . Makale, NFA'lar tarafından kabul edilen farklı dillerin sayısı üzerindeki sıkı, alt ve üst sınırlardan oldukça kolay, ancak çok uzaktır. Farklı DFA'ların sayısı hakkındaki tartışmaları çok anlayışlı, bu yüzden ben de bu kısmı dahil edeceğim.

Makale , tek bir alfabe üzerinde eyaletli bir DFA tarafından kabul edilen farklı dillerin sayısı için oldukça titiz bir asimtotik ile başlar . Bu, belirli bir durumlu tekli DFA'nın hangi koşullar altında minimal olduğu gözlenerek yapılır . Bu gibi durumlarda, otomatın tanımı ilkel bir kelimeyle (iki yönlü olarak) eşlenebilir ve bu tür kelimelerin numaralandırılması iyi bilinir ve Möbius fonksiyonunun yardımıyla yapılır . Bu sonucu kullanarak, hem DFA'da hem de NFA durumunda, sıradışı olmayan alfabe sınırları kanıtlanmıştır. $n$ $n$

Daha fazla ayrıntıya girelim. harfli bir alfabe için $k$ Not. veile başlıyoruz.

\begin{aligned} f_{k} (n) & = the number of pairwise non-isomorphic minimal DFA's with n states \\ g_{k} (n) & = the number of distinct languages accepted by DFA's with n states \\ G_{k} (n) & = the number of distinct languages accepted by NFA's with n states \end{aligned}

$\begin{align*} f_k(n) &= \text{the number of pairwise non-isomorphic minimal DFA's with } n \text{ states}\\ g_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by DFA's with } n \text{ states}\\ G_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by NFA's with } n \text{ states} \end{align*}$

g_{k} (n) = \sum_{i = 1}^{n} f_{k} (i)

$g_k(n) = \sum_{i=1}^n f_k(i)$

f_{1} (k)

$f_1(k)$

g_{1} (k)

$g_1(k)$

Tek DFA'ların numaralandırılması

Bir tekli DFA durumları ile minimum IFF olduğu $M = (Q, \{a\},\delta, q_0,F)$ $q_0,\dots, q_{n-1}$

Bağlı. Böylece, yeniden adlandırdıktan sonra, geçiş şeması bir döngü ve kuyruktan oluşur, yani bazı için ve . $\delta(q_i,a) = q_{i+1}$ $\delta(q_{n-1},a)=q_j$ $j \leq n-1$
Döngü minimumdur.
Eğer , o zaman her iki ve veya ve . $j \neq 0$ $q_{j-1} \in F$ $q_{n-1} \notin F$ $q_{j-1} \notin F$ $q_{n-1} \in F$

Döngü kelime ancak ve ancak çok az ile tanımlanan $q_j,\dots, q_{n-1}$ $a_j \cdots a_{n-1}$ olduğuilkelbu şeklinde yazılabilir anlamına gelir ki, bazı kelime içinve bazı tamsayı. harfli alfabeüzerindeuzunluğunda ilkel kelimelerin sayısıbilinmektedir, bakınız örneğin Lothaire,Kelimelerdeki Kombinatorik. Biz

a_{i} = {\begin{cases} 1 if q \in F, \\ 0 if q \notin F \end{cases}

$\begin{equation*} a_i = \begin{cases} 1 \quad \text{if } q \in F, \\ 0 \quad \text{if } q \notin F \end{cases} \end{equation*}$

x^{k}

$x^k$

x

$x$

k \geq 2

$k \ge 2$

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$

n

$n$

k

$k$

burada

olanMöbiüs fonksiyonu. Yardımıyla

kağıt tam formülleri kanıtlar için

ve gösterdiği asimptotik (teoremi 5 ve doğal sonucu 6),

ψ_{k} (n) = \sum_{d | n} μ (d) k^{n / d}

$\begin{equation*} \psi_k(n) = \sum_{d | n} \mu(d) k^{n/d} \end{equation*}$

μ (n)

$\mu(n)$

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$

f_{1} (n)

$f_1(n)$

g_{1} (n)

$g_1(n)$

\begin{aligned} g_{1} (n) & = 2^{n} (n - α + O (n 2^{- n / 2})) \\ f_{1} (n) & = 2^{n - 1} (n + 1 - α + O (n 2^{- n / 2})) . \end{aligned}

$\begin{align*} g_1(n) &= 2^n \left(n-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right) \\ f_1(n) &= 2^{n-1}\left(n+1-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right). \end{align*}$

DFA sayımı

$f_k(n)$

f_{k} (n) \geq f_{1} (n) n^{(k - 1) n} \sim n 2^{n - 1} n^{(k - 1) n} .

$\begin{equation*} f_k(n) \ge f_1(n) n^{ (k-1)n} \sim n 2^{n-1}n^{(k-1)n}. \end{equation*}$

Δ \subset Σ

$\Delta \subset \Sigma$

M

$M$

M_{Δ}

$M_{\Delta}$

M

$M$

Δ

$\Delta$

S_{k, n}

$S_{k,n}$

M

$M$

k

$k$

{0, 1, \dots, k - 1}

$\{0,1,\dots,k-1 \}$

$M_{ \{0 \}}$ $f_1(n)$ $n$
$k-1$ $h_i : Q \to Q$ $1 \le i < k$ $\delta(q,i) = h_i(q)$ $1 \le i < k$ $q \in Q$

$S_{n,k}$ $f_1(n) n^{ (k-1)n}$

NFA sayımı

$G_1(n)$ $2^n$ $\epsilon, a,\dots, a^{n-1}$ $n$
$G_1(n) \le \left( \frac{c_1 n}{\log n}\right)^n$
$k \ge 2$

n 2^{(k - 1) n^{2}} \leq G_{k} (n) \leq (2 n - 1) 2^{k n^{2}} + 1.

$\begin{equation*} n 2^{(k-1)n^2} \le G_k(n) \le (2n-1) 2^{kn^2} +1. \end{equation*}$

(q, a)

$(q,a)$

Q

$Q$

δ (q, a)

$\delta(q,a)$

2^{k n^{2}}

$2^{kn^2}$

{1, \dots, k}

$\{1,\dots,k\}$

k \in [0.. n - 1]

$k \in [0..n-1]$

M = (Q, Σ, δ, q_{0}, F)

$M=(Q,\Sigma,\delta,q_0, F)$

Σ = {0, 1, \dots, k - 1}

$\Sigma = \{ 0,1,\dots,k-1 \}$

Q = {q_{0}, \dots, q_{n - 1}}

$Q=\{ q_0,\dots, q_{n-1} \}$

δ

$\delta$

\begin{aligned} δ (q_{i}, 0) & = q_{(i + 1) \mod n} for 0 \leq i < n \\ δ (q_{i}, j) & = h_{j} (i) for 0 \leq i < n, 1 \leq j < k \end{aligned}

$\begin{align*} \delta(q_i,0) &=q_{(i+1) \mod n} \quad \text{for } 0 \le i <n \\ \delta(q_i,j) &=h_j(i) \quad \text{for } 0 \le i <n,\, 1 \le j < k \end{align*}$

h_{j} : {1, \dots, n - 1} \to 2^{Q}

$h_j: \{ 1,\dots,n-1\} \to 2^Q$

F = {q_{i}}

$F=\{q_i\}$

i \in [0.. n - 1]

$i \in [0..n-1]$

2^{(k - 1) n^{2}}

$2^{(k-1)n^2}$

n

$n$ son halleri seçmek için yollar. Daha sonra böyle iki NFA'nın aynı dili kabul etmediğini gösterebiliriz.

— john_leo
kaynak