Durma problemi ile termodinamik entropi arasında bir bağlantı var mı?

Alan Turing, hesaplayan (sayılar, fonksiyonlar vb.) Bir makine (Turing Machine, TM) için bir model önerdi ve Halting Teoremini ispatladı .

TM, bir makinenin soyut bir konseptidir (ya da isterseniz motoru). Halting Teoremi imkansız bir sonuçtur. Bir Carnot Motoru (CE), bir ısı motorunun soyut bir konseptidir ve Carnot , termodinamik entropi ile ilgili başka bir imkansızlık sonucu olan Carnot Teoremini kanıtlamıştır .

Bir TM'nin fiziksel olarak gerçekleştirilebilir olduğu göz önüne alındığında (en az CE ya da belki de olmasın?), Bu sonuçları birleştirmeye ve ek olarak entropiye bağlanabilecek bir eşleme ya da temsil ya da "izomorfizm" var mı?

Elbette algoritmik bilgi teorisi (örneğin Chaitin, Kolmogorov vb.) Ve entropi (bu bağlamda) açısından TM ve Halting Teoremi formülasyonları vardır. Soru, daha fiziksel entropi kavramını sorar (eğer potansiyel bir cevap sürecinde algoritmik entropi ortaya çıkarsa iyidir, ama sorunun tam olarak sorduğu şey bu değildir).

Ayrıca , fizik.se 'de kuantum belirsizliği termodinamiğin 2. yasası ile ilişkilendiren başka bir soru da kontrol edilebilir . Ayrıca bakınız: Bir entropi cebirsel karakterizasyonu , bir entropi algoritmik karakterizasyonu , bir entropi çeşitli formülasyonları arasındaki inceleme ve bağlantıları

Bu alanda hiç bir uzman değilim, ancak geri dönüşümlü hesaplamalarla ilgileneceğinize inanıyorum . Bu, diğer şeylerin yanı sıra, fiziksel olarak geri dönüşümlü olan ve mantıksal olarak geri döndürülebilen süreçler arasındaki ilişkinin çalışılmasını içerir. Alanın "kurucularının" Ralph Landauer ve Charles H Bennett olduğunu söylemenin adil olacağını düşünüyorum (sanırım IBM'in her ikisi de bence).

$\times$

Bu alanda okuyan insanların çoğu da kuantum hesaplama ve sayısal fiziğe (evrenin büyük bir kuantum hücresel otomatı olduğu fikri) üzerinde çalışıyor. Akla gelen araştırmacı isimleri Ed Fredkin , Tommaso Toffoli ve Norm Margolus'tur .

Bu sorular kesinlikle bilgisayar bilimleri için konudur . Sadece teori (serin matematiğin yanı sıra serin fiziği de içeren) için değil, hesaplamanın nihai sınırlarını bilmek isteyen mühendisler için. Bir miktar bilgiyi saklamak için gereken minimum hacim veya enerji var mı? Eylem sabit olabilen bir geri dönüşümlü hesaplama yapmak için gerekli, ama bu sabit ne gibi kısıtlamalar nelerdir? Bunlar, mümkün olanın sınırlarını zorlamaya çalışan mühendisler için kritik bilgilerdir.

Carnot Teoremi ile alaycı değilim, Vikipedi'de henüz okuduklarım dışında, ama bu lanetli tanıtımdan sonra, ispatların yapısında bir bağlantı var ve bu ispat tekniği olarak sizin için ilginç olabilir. Bu birçok alanda uygulanabilir.

Her ikisi de, belirli bir sınıftaki hiçbir şeyin bir özelliği olmadığını göstermek için çelişkiyle yapılan kanıtlardır, bazı örneklerin aslında bu özelliğe sahip olmadığını ve ardından bir çelişki olduğunu gösterdiğini varsayalım.

Durma Sorunu, çelişkilerin belirli bir durumla ilgili bazı kendi kendine etkileşimlerinden kaynaklandığı (ilginç bir makinenin belirli bir girişle durup durmayacağını belirleyebilecek bir makine M olduğu) ilginçtir. Özellikle, bileşen olarak M içeren yeni bir makine inşa edersiniz ve ardından yeni makineyi M ye beslersiniz.

Carnot Teoremi hakkında daha fazla bilgiye sahip biri, üzerinde çalışabilir (ki bunu yapmaya yetkin değilim), ancak çelişki, eldeki mülkün bir örneğine sahip olsaydınız, yapabileceğiniz ısı motorunun türünden kaynaklanıyor gibi görünüyor.

Yani her iki durumda da inşaatın içeriğini içerir:

• Bazı X’lerin P özelliğine sahip olduğunu varsayalım.
  • X'ten, ilgili Y'yi oluşturun.
  • X ve Y arasındaki ilişkiler çelişkilidir.
• Bu nedenle, hiçbir X, P özelliğine sahip değildir.

Halting Teoremi örneğindeki çelişki saf bir mantıksal çelişkidir ve klasik mantığın herhangi bir ayarında çelişkili olacak olsa da, bir fark olduğu görülmektedir. Carnot Teoremi, anladığım kadarıyla, sadece termodinamiğin ikinci yasasına aykırıdır. Mantıksal bir bakış açısıyla, bu bir aksiyomdur, yani termodinamiğin ikinci yasasının uygulanmadığı farklı bir aksiyomlaştırma gerçekleştirmiş olsaydınız, Carnot Teoremi bir teorem olmazdı, çünkü çelişki varolmazdı. (Termodinamiğin biçimlendirilmesinin ikinci yasa olmadan nasıl görüneceği, geometrileri Öklid dışı geometriye yönlendiren bir tür soru.

IANAPhysicist ama hiçbir bağlantı görmüyorum. Turing makineleri saf matematiğin nesneleridir ve durma probleminin kararsızlığı herhangi bir şeyin fiziksel olarak gerçekleşmesinden bağımsızdır.

Bu çok-konulu çok-farklı soru unf'un basit / kolay bir cevabı yoktur ve TCS araştırmasının aktif alanlarına dokunur. bununla birlikte, yıllar boyunca beni ilgilendiren fizik ve TCS arasındaki bağlantıyı sormak nadir bir sorudur. Bunun için birkaç farklı yol var. temel cevap, bunun “açık bir soru” olduğu, ancak bazı aktif / modern araştırmalara değindiği ve bağlantılara işaret ettiğidir.

• İleri fizikten bazı şaşırtıcı / derin çözülemez problemler var. örneğin dinamik sistemlerden. Bununla birlikte, bunu kendi başına entropiye bağlı görmedim, ancak entropi tüm fiziksel sistemlerle ilişkilidir (örneğin bunu kimya teorisinde görebilir), bu nedenle en azından dolaylı bir bağlantı bulunmalıdır.

• entropi aslında CS’de ortaya çıkıyor ancak daha çok bilgi teorisi ve kodlama teorisi şeklinde. Kodlama teorisinin doğuşu, Shannon tarafından iletişim kodlarıyla ilişkili entropinin tanımını / analizini içermiştir. Bu harika çevrimiçi ref deneyin Entropi ve Enformasyon teorisi Gray tarafından

• entropi, bazen PRNG'lerde rastgele ölçümün ölçülmesi ile de ilişkilidir. Razborov / Rudich'in ünlü "Doğal Kanıtlar" belgesinde karmaşıklık sınıfı ayrımlarının (örneğin P =? NP) PRNG'lerle bağlantısı vardır. Bu konu hakkında araştırmalar devam ediyor.

• Termodinamikten ve TCS ile olan bağlantısından bahsediyorsun. fizikteki döner camlardaki mıknatıslanma ile SAT geçiş noktasında incelenen NP problemleri arasında derin bir bağlantı vardır. orada (yine) fiziksel sistem onunla ilişkili bir entropiye sahiptir, ancak muhtemelen fizik bağlamında bir TCS bağlamından daha fazla çalışılmıştır.

Geleneksel olmayan bilgisayar paradigmalarına giriş yapmak için bazen kullanılan basit bir düşünce sorunu vardır:

İki ampul ve bunların açma-kapama düğmeleri vardır. Birisi her iki lambayı da birbiri ardına açar ve kapatır. Hangisinin ilk önce hangisinin kapalı olduğunu nasıl belirlersiniz? Bu soruna karar vermek için ışıkları açmanız gerekecek en az sayıda süreyi belirleyin.

Çoğu bilgisayar bilimcisi, genellikle bir miktar mantık tabanlı çözüm bulmaya çalışırlar. Cevap (bunlardan en az biri): ampullere dokunup hangisinin daha sıcak olduğunu görerek.

Isıya dayalı paradigmalar bilgisayar bilimlerinde mevcuttur: benzetilmiş tavlama bilinen bir algoritmadır (D-dalgaları kuantum bilgisayarı algoritmanın kuantum karşılığıdır).

Şimdi Halting problemiyle bir ilişkisi var mı?

Durma probleminde Chaitin ve Calude'nin klasik çalışması, Omega sayıları kavramıyla, Halting probleminin olasılıksal formülasyonu ile ilişkilendirilebilir. Sorun hakkında düşünebileceğim en son araştırma, entropi (termodinamik) ile net bir ilişki yok. Şimdi eğer bilgi entropisi (Shannon anlamında) sizin için iyiyse, Omega numarası en kısa haliyle Halting problemini, bir Shannon sınırına göre kodlar.

Kısacası, bir Omega numarası rastgele bir programın durma olasılığıdır. Sabitin bilinmesi tüm geçerli matematiksel ifadelerin (gerçekler, aksiyomlar, vb.) Sayılmasına izin verir ve hesaplanamaz. Calude, üniform olasılık ölçüsünü rastgele bir programın uzunluğuyla ters orantılı bir ölçümle değiştirerek ve öneksiz kodlamalar kullanarak Omega versiyonunu hesapladı. Böylece Chaitin Omega ve Calude Omega'sından bahsedebilirdik.

Evet !, garip bir şekilde bu konuda düşündüm .. İşte fikir:

İlk adım

Maxwell'in Şeytanını bir bilgisayar programı olarak modelleyin . Öyleyse, Demon seçim için kapıyı açmadan önce partikülün hızını ve konumunu nasıl öğrendi?

Şeytanın, parçacıkların kapıya çarpma hızını ölçemediğini varsayalım, neden? çünkü bu, partikülün hızını değiştirecektir, bu yüzden iblis açmadan önce , bakmadan, ölçmeden anlamak zorundadır . Adil olmak gerekirse, iblisin oyunun kurallarını önceden bilmesini sağlayacağız, yani iblisi hareket yasaları, parçacıkların etkileşimleri ve fizik / dinamik modelden yeterince başlangıç ​​koşulları ile besleyeceğiz.

İkinci adım

Şimdi parçacıkların gazını, her parçacık için iblise verilen aynı kodu çalıştıran bir bilgisayar programı olarak modelleyin, böylece gaz başlangıç ​​koşullarından bir sonuç hesaplar, Demon bu sonucu duruncaya kadar bilemez ): yani “doğru hızda bir parçacık kapıdadır”, sisteme sorduğumuz soru evet / hayır sorusu “Bir parçacığa doğru konumda ve yeterli hızda mı var?”, eğer öyleyse kapı açılabilir. ve hızlı partikül, yeni başlangıç ​​koşullarını belirleyerek odanın yüksek sıcaklık tarafına girebilir (bu ardışık problemlerin bir yanıtı olur mu yoksa sonsuza dek çalışır mı?).

Sınırı geçmek için yeterli hızda parçacık bulunmadığı bir zaman olacaktır, bu nedenle kodun neredeyse herhangi bir eşik için sonsuza dek çalışacağı (durmadığı) bir zaman olacaktır.

Demon, gaz tarafından hesaplanan sonucu bilmek istiyor, ancak sonuç potansiyel olarak partikül yasalarının kaynak koduyla birlikte başlangıç ​​koşullarında yer alan bir anlamda .. tabii ki bunu bilmek için bu programı çalıştırmamız gerekiyor. Eğer Demon çıkışta doğru hızda bekleyen aynı programı çalıştırırsa, program durdurabilir veya sonsuza kadar çalışabilir (ama aynı zamanda şeytanın gazdan daha fazla hesaplama gücünün olmadığını varsayalım, bu nedenle karar veremeyecektir. zamanında kapı açma).

Daemon, program çıktısını (ya da durduracaksa) kaynak ve girişleri çalıştırmadan izleyerek çözmeye çalışabilir ancak Halting Problemini çözmeye çalışmak gibi bir şey, neden? Çünkü Demon hangi yasaların ve başlangıç ​​koşullarının besleneceğini bilmediğinden, Demon herhangi bir yasa ve başlangıç ​​koşullarını çözmek için hazırlanmalı ve genel olarak mümkün olmadığını biliyoruz, eğer mümkün olursa, bir kehanete ihtiyacı olacak. hiçbir şeyden enerji üretmek için bir iblis inşa etmeye yetecek kadar. (yasaları ve başlangıç ​​koşullarını bilmek bile, her ikisini de bilmek zor;

Bu düşünce deneyi, entropideki bir azalmanın, bilgisayarlar aracılığıyla, genel olarak sonuçları tahmin etmek için bir sorun olarak Halting Problemi tarafından nasıl sınırlandırılabileceğini bağlayabilir .

(Bazen tüm sınırlar aynı sınır gibi görünüyor ..)

Parçacık Yasası hakkında daha fazla bilgi

Partikül yasaları, bu düşünce deneyinin ana konusu değildir, bu yasalar kuantum veya klasik olabilir, ancak yasaların ve ilk koşulların karmaşıklığı gerçeğini göz önünde bulundurmalıyız, parçacıkların düzeninin karmaşıklığını sınırlamamalı ve Çok fazla karmaşıklığa sahip olabilirsiniz (başlangıç ​​koşullarının aşırı örneğinde, bir iç kaynak koduna göre tüm bir bilgisayarı ateşleyen partikülleri bile ekleyebilir ve bu kodu daemona verebilirsiniz).

Gerçekten çok büyüleyici bir soru ve düşüncenizin doğru olduğunu göreceğiz .

İlk önce ikinci termodinamik prensibinin ne dediğini görelim.

Entropi işlevi, termodinamiğin 2. yasasında kullanılır. Carnot teoreminden, buhar makinelerinde yer alan işlemlerin (bu arada 150 yıllık termodinamik üzerinde dengesiz bir kavram gibi gözüken) karşılık gelen "geri dönüşümlü" makineye eşit veya düşük bir verime sahip olduğunu belirten teorisinden kaynaklanmaktadır. Carnot entropi fonksiyonunu kendi kendine bozmadı, fakat Clausius ile birlikte söyledikleri bu:

Perpetuum makinesi olmadığı için, entropi adı verilen, makroskopik termodinamik ölçümleri belirli bir denklemde sınırlayan S işlevini oluşturabiliriz, yani S (V, T, P, vs.) = 0

Bu denklemin termodinamik ölçümler alanındaki bir hiper yüzey denkleminden başka bir şey olmadığını unutmayın.

Carathéodory'ye giriyor.

Carathéodory bir Alman matematikçisi ve Carnot ve Clausius'tan çıkarmak istediği tüm matematikçiler gibi, ikinci yasanın gerçekte ne olduğunu netleştirmesini sağlayacak bazı aksiyomları düşünerek çıkarmak istiyor . Açıkça söylemek gerekirse, entropinin tam olarak ne olduğunu bilmek için termodinamik saflaştırmak istiyor.

Belli sayıda aksiyomu listeledikten sonra, (az ya da çok) diyen HIS ikinci yasasını formüle etmeyi başarır:

Bazı adyabatik süreçler var. Ya da daha açık bir şekilde, geri dönmek istiyorsanız, bazen yalnız çalışmak yeterli olmuyor. Biraz ısıya ihtiyacın var.

Şimdi bu, Clausius'un formülasyonundan ÇOK farklı görünüyor! Ama aslında öyle değil. Carathéodory, birazcık Euclide'nin 5. aksiyosunda 2.000 yıl boyunca oynanan matematikçilere benzeyen kelimelerin sırasını değiştirdi ve bu aksiyom için birçok farklı ifade üretti. Ve bir adım geriye giderseniz, Carathéodory'nin ikinci yasayla ilgili ifadesine şaşırmamalısınız. Aslında Carathéodory's aynı entropi fonksiyonuna ve hiper yüzey denklemine S (V, T, P, vs.) = 0 yol açar

Carnot teoremini sert düşün. Bir matematikçi olarak, Carnot'un perpetuum makinelerinin bulunmadığını kabul etme şeklinden çok memnun olmamalısınız. Aslında, bir matematikçi olarak böyle bir şey görmeyi tercih edersiniz:

Makroskobik önlemleri sınırlayan bir entropi işlevi vardır, eğer IF VE SADECE perpetuum makineleri yoksa. "

ŞİMDİ bir teorem var. Ve ne diyor? Sonsuz miktarda enerji üreten ve böylece istediğiniz herhangi bir duruma yol açabilecek yalıtılmış bir mekanik sistem olmadığı sürece , o zaman bir entropi işlevi bulacaksınız. Bir izole edilmiş mekanik sistem adyabatik bir süreçtir. Dolayısıyla Carathéodory'nin formülasyonu: hiçbir adyabatik sistem sizi hiçbir yere yönlendiremez. Bazen biraz ısıya ihtiyaç duyacaksınız.

Bu yüzden sadece Carathéodory'nin doğru olduğundan emin değil, aynı zamanda formülasyonunun da oldukça basit olduğundan eminiz.

Şimdi nerede Carathéodory'deki ikinci yasanın durma sorununa benzer olduğu izlenimini edindiniz?

Carathéodory'nin ifadesine geri adım atın. Tek söylediği, karışmayı bıraktığınız izole bir mekanik sisteme sahip olduğunuzda, istediğiniz herhangi bir duruma ulaşamayacağınızdır.

Bu ses kesin olarak durma problemini sevmiyor mu? Yani, teorinizin tüm aksiyomlarını yazdıktan ve olası tüm geçişleri belirttikten sonra çözemediğiniz problemler olacaktır. Bazen daha fazla aksiyom eklemeniz gerekebilir.

Aslında gerçekten derinlemesine gitmek ve Carathéodory'nin formülasyonunu kodlamak istiyorsanız, bu, Turing makineleri yerine adyabatik süreçlerde durma problemiyle aynı kodla sonuçlanacak ve problemleri belirtecektir.

Ne düşünüyorsun?

NOT: Cevabımı neredeyse tamamen düzenledim, böylece aşağıdaki yorumlar şu anda içerdiklerine uygun olmayacak.