Boole işlevleri Tamamlanıyor mu?

9

Boole işlevi işlevidir . $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$

Boole temelinin , herhangi bir dizinin çevrilmesine veya değiştirilmemesine izin verdiği için Turing tamamlandığı bilinir . Aynı şey kapıları için de söylenebilir . $(\vee,\wedge)$ $s\in\{0,1\}$ $\mathrm{XOR}$

Bu anlamda biz ilk makine yapılandırması ile başlayabilir bu şekilde ve ardışık değerler ile bu : $\textbf{b}=(b_1,\ldots,b_n)$ $b_i\in\{0,1\}$ $\mathrm{XOR}$ $\textbf{v}_i$

$\textbf{b}\oplus\textbf{v}_1\oplus\textbf{v}_2\oplus\textbf{v}_3\ldots$

Her durum içindeki bazı öğelerin permütasyonunu temsil eder . Bu işlem bir Turing makinesini etkin bir şekilde taklit eder ve değerleri için bir jeneratör olduğunu varsayar . $\textbf{v}_i$ $\textbf{b}$ $\textbf{v}_i$

Öyleyse Boole işlevlerinin Turing'in tamamlandığını söyleyebilir miyiz?

turing-machines turing-completeness boolean-algebra

— user13675
kaynak

1

Bu makine sonsuz bir döngüde nasıl sıkışabilir?

— Guildenstern

Sanırım şey, Boole devresi formalizmi Turing formalizmi için izomorfik olsa da, size böyle bir programın nasıl oluşturulacağını veya oluşturulacağını söylemez ... Değerleri sadece "bilmeniz" gerekir

v_{i}

$\textbf{v}_i$ ...

— user13675

8

Gayri resmi olarak, her bir hesaplanabilir fonksiyonun bir temsili varsa (programlama) bir dil Tamamlanıyor. Genel hesaplanabilir fonksiyon, keyfi boyutta bir girişi kabul eder. Boolean işlevleri ise sabit boyutlu bir girişi kabul eder. Dolayısıyla, Boole işlevleri potansiyel olarak Turing-complete olarak nitelendirilmez .

Buradaki ilgili bütünlük kavramı, bağlayıcıların tam bir temelidir. Bir dizi bağlaç ( $k$ için Boole değerlerinde çok işlevli işlevler $k$ ) 'Dir tam her Boole fonksiyonu üzerinde ise $x_1,\ldots,x_n$ (keyfi olarak $n \geq 1$ ) bağlaçlar kullanılarak temsil edilebilir. Aşağıdaki setler tamamlandı: de Morgan temeli $\{\lnot,\lor,\land\}$ ve temel $\{\lnot,\Rightarrow\}$ . Tersine, $\{\lnot,\oplus\}$ tam değil: yalnızca doğrusal işlevleri ifade edebilir.

— Yuval Filmus
kaynak

Muadilleri, boole devreleri Turing tamamlanacak mı? Cook'un (3SAT'ın NP tamlığının kanıtı olarak) Turing makinelerinin ve boolean devrelerinin nasıl eşdeğer olduğunu gösterdiğinden beri olduklarını tahmin ediyorum.

— user13675

@ user13675 Hayır, tamamen aynı sorun. Her durdurma Turing makinesi, her giriş boyutu için eşdeğer bir Boolean devresine veya formüle dönüştürülebilir, ancak her boyut için farklı bir tane gerekir.

— Yuval Filmus

5

kesinlikle YF'nin yanıtladığı gibi, sonlu devreler Turing tamamlanamaz.

bununla birlikte, bu soruya yanıt olarak (ve belki de ne aradığınızı) bir ipucudan bahsetmeye değer, devrelerin fonksiyonları Turing tamamlanmasından daha güçlü bir şekilde hesaplamak için kullanıldığı teoride oldukça yaygın olarak kullanılan bir kavram .

devre aileleri. bir devre ailesi sonsuz dilleri hesaplayabilir. her boyut girişi $n$ ilişkili bir devre / fonksiyona sahip $C_n$ bir yöntemle oluşturulmuş, mutlaka bir TM ile oluşturulmuş değil! Karar verilebilen TM'ler göre hesaplanabilir devre dil olarak bilinir homojen devreleri olarak bilinen bu sınıf içinde constructable değildir ve devreler yeknesak olmayan .

— vzn
kaynak