Her iki en uzun yolun ortak en az bir tepe noktasına sahip olduğunu kanıtlayın

Bir grafiktir Eğer bağlı olan ve daha büyük bir uzunluğa sahip bir yolu vardır , her iki yol kanıtlamak uzunluğu ortak en az bir tepeye sahiptir. $G$ $k$ $G$ $k$

Bu ortak tepe noktasının her iki yolun ortasında olması gerektiğini düşünüyorum. Çünkü durum böyle değilse, uzunluğuna sahip olabiliriz . Haklı mıyım? $>k$

graph-theory graphs combinatorics

— Saurabh
kaynak

Güçlü bir şekilde bağlı olmayan yönlendirilmiş bir grafik için karşı örnek:

A, B, C, D

$A,B,C,D$ köşeleri,

A \to C

$A \to C$ ,

A \to D

$A \to D$ ,

B \to D

$B \to D$ ,

A \to C

$A \to C$ ve

yolları

B \to D

$B \to D$ ortak değildir tepe.

— sdcvvc

@sdcvvc, cevap olarak sağlayabilirsiniz.

@sdcvvc Sanırım soru yönlendirilmemiş grafiklerle sınırlı.

— Raphael

Eğer onaylamak (veya güçsüz) o Can bir olan yönsüz grafik ve sadece düşünen basit (= çevrim içermeyen) yolları?

G

$G$

— Gilles 'SO- kötü olmayı bırak

@Gilles Evet, grafik yönlendirilmemiş ve farklı kenarlar ve köşeler içeren patika yürüyüş yolu.

— Saurabh

Yanıtlar:

Çelişki için ve iki yol olduğunu içinde uzunluğu hiçbir ortak noktalar ile. $P_{1} = \langle v_{0},\ldots,v_{k}\rangle$ $P_{2} = \langle u_{0},\ldots,u_{k}\rangle$ $G$ $k$

Olarak bağlanan bir yol yoktur bağlantı için bazı bu şekilde hisse sahip bir köşe dışında ve . Ki (bir olabileceğini not özet olarak, yani, olabilir - gösterim biraz eksik olsa da). $G$ $P'$ $v_{i}$ $u_{j}$ $i,j \in [1,k]$ $P'$ $P_{1} \cup P_{2}$ $v_{i}$ $u_{j}$ $P' = \langle v_{i},x_{0},\ldots,x_{b},u_{j}\rangle$ $x_{i}$ $b$ $0$

Genel kayıp olmadan (numaralandırmayı her zaman tersine çevirebiliriz) olduğunu . Ardından yeni bir (boyunca giderek ile sonra oluşturduğu köprü boyunca, için boyunca, daha sonra için ). $i,j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$ $P^{*} = \langle v_{0},\ldots,v_{i},x_{1},\ldots,x_{b},u_{j},\ldots,u_{0}\rangle$ $P_{1}$ $v_{i}$ $P'$ $u_{j}$ $P_{2}$ $u_{0}$

Açıkçası , en az bir uzunluğa sahiptir , ancak bu aykırı olduğuna varsayımı daha uzunluğa herhangi yolları vardır . $P^{*}$ $k+1$ $G$ $k$

Bu nedenle, uzunluğundaki herhangi iki yol en az bir tepe noktasıyla kesişmelidir ve bunun ortada olması gerektiği gözleminiz (yalnızca bir tane varsa) aklınıza geldiğiniz gibi izler. $k$

— Luke Mathieson
kaynak

Bence , aksi takdirde yeni yol mutlaka daha uzun değildir. mümkün olduğunu unutmayın .

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$

b = 0

$b=0$

— Raphael

Evet @Raphael, ben açıkça (ve kullanılan hafif yanıltıcı notasyonu) devlet yoktu, ama oldukça mutlu olabilir , köprü hep tek köşe bile, en azından bir kenar olsa ekler olan ve . İlk noktada, , bu yüzden haklı. O gitseydi sonra doğru durum olurdu.

b

$b$

0

$0$

P^{'}

$P'$

v_{i}

$v_{i}$

u_{j}

$u_{j}$

v_{0} \to v_{i} \to u_{j} \to u_{0}

$v_{0} \rightarrow v_{i} \rightarrow u_{j}\rightarrow \mathbf{u_{0}}$

j \geq ⌈ \frac{k}{2} ⌉

$j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$

u_{k}

$u_{k}$

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$

— Luke Mathieson

Ortak tepe noktasının her iki yolun ortasında da olması gerektiği konusunda haklısınız.

Ancak bu sezgi çözmeye çalıştığınız gerçek sorunu çözmeyecektir.

Bunun yerine, yoldaki herhangi bir nokta verildiğinde, orijinal yolun uçlarından birine işaret eden (ve dahil) yol parçasının tam yolun yarısından fazlasına sahip olması gerektiğini göstermeye çalışın.

Bunu gösterdikten sonra, size sorulan sorunu çözebilecek ve varsayımınızı doğrulayabileceksiniz.

— btilly
kaynak