Doğal sayı doğrusal sistemlerini çözmek için hangi algoritmalar var?

Aşağıdaki soruna bakıyorum:

verilmiş $n$sayıların üç boyutlu vektörleri $v_1, \ldots, v_m$ ve bazı girdi vektörleri $u$, dır-dir $u$ doğrusal bir kombinasyonu $v_i$doğal sayı katsayılarıyla mı?

yani biraz var mı $t_1, \ldots, t_m \in \mathbb{N}$ nerede $u = t_1 v_1 + \dots + t_m v_m$?

Açıkçası, bu sorunun gerçek sayı versiyonu Gauss ortadan kaldırılması kullanılarak çözülebilir. Merak ediyorum, bu sorunun tamsayı sürümü incelendi mi? Çözmek için hangi algoritmalar var?

Bunun doğal sayılar kullandığını, ancak modüler aritmetik kullanmadığını unutmayın, bu yüzden Çin Kalan Teoremi ve bunun gibi sistemlerden biraz farklıdır. Ayrıca, Diophantine denklemleri ile ilgili gibi görünüyor, ama sadece negatif olmayan tamsayıların dikkate alındığı durumda ne yapıldığını merak ediyorum? Bu aynı zamanda her vektörün rasgele sayıda kopyasını almamıza izin vermek için genelleştirilmiş çok boyutlu bir alt küme toplamı problemini anımsatmaktadır. Ayrıca,$u$tarafından üretilen kafesin bir elementidir$v_1,\dots,v_m$, burada sadece negatif olmayan katsayılarla doğrusal kombinasyonlara izin veriyoruz.

İlgilenen herkes için bu, Parikh vektörünün Parikh Teoreminde olduğu gibi doğrusal bir kümede olup olmadığına bakarak motive edilir .

Özellikle, gerçek / kayan nokta sayılarına girmekten kaçınarak, sorunu sadece doğal sayı işlemlerini kullanarak çözebilecek bir algoritma ile ilgileniyorum.

Altküme Toplamından indirgeyerek probleminiz NP-tamamlanmış (her şey negatif olmadığından NP'de olduğu için, çözümün katsayılarını yeterince iyi sınırlar). Bir örnek verildi$S = \{s_1,\ldots,s_n\}, T$ Altküme Toplamı (bir altkümesi var mı $S$ özetlemek $T$?), bir örnek oluştururuz $v_1,\ldots,v_{2n},u$sorununuzu aşağıdaki gibi. Her biri için$1 \leq i \leq n$, koyduk $v_i$ sıfır olmayan iki girişi olan vektör olmak: $v_{i,i} = 1$ ve $v_{i,n+1} = s_i$, ve $v_{n+i}$ sıfır dışında benzersiz bir girişe sahip vektör olmak $v_{n+i,i} = 1$. Hedef vektör$u=1,\ldots,1,T$. Her doğal kombinasyonu$v_1,\ldots,v_{2n}$ eşittir $1,\ldots,1,\ast$ her birinden tam olarak birini seçmeli $v_i,v_{n+i}$ve böylece bir alt kümesini kodlar. $S$ toplamı son bileşenin değeridir.