Bir ikili ağacın ortalama yüksekliği nedir?

İkili bir ağacın ortalama yüksekliği hakkında resmi bir tanım var mı?

Aşağıdaki iki yöntemi kullanarak ikili bir ağacın ortalama yüksekliğini bulmak hakkında bir öğretici soru var:

Doğal çözüm, kökten bir yaprağa olan tüm olası yolların ortalama uzunluğunu almak olabilir, yani

$\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_1(T) = \frac{1}{\text{# leaves in } T} \cdot \sum_{v \text{ leaf of } T} \operatorname{depth}(v)$ .
Başka bir seçenek, özyinelemeli olarak tanımlamaktır, yani bir düğümün ortalama yüksekliği, alt ağaçların artı birlerinin ortalama yüksekliklerinin ortalamasıdır, yani

$\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_2(N(l,r)) = \frac{\operatorname{avh}_2(l) + \operatorname{avh}_2(r)}{2} + 1$

ile yapraklar için ve boş alanlar için. $\operatorname{avh}_2(l) = 1$ $l$ $\operatorname{avh}_2(\_) = 0$

Mevcut anlayışım temelinde, örneğin ağacının ortalama yüksekliği $T$

olduğu özyineleme kullanarak ikinci yöntemi ile. $\operatorname{avh}_2(T) = 1.25$

Ancak, ilkini nasıl yapacağımı hala tam olarak anlayamıyorum. doğru değil. $\operatorname{avh}_1(T) = (1+2)/2=1.5$

— ebedi
kaynak

Biraz bağlam sağlayabilir misiniz? "Doğru" bir matematiksel tanım diye bir şey yoktur; "ikili ağacın ortalama yüksekliğini" istediğiniz gibi tanımlayabilirsiniz. (Ortalama Ne üzerinde ne dağılımı ?) Ama farklı tanımları az ya da çok olacak kullanışlı farklı uygulamalar için.

— JeffE

@JeffE "İkili bir ağacın ortalama yüksekliğinin nasıl tanımlanacağı hemen belli değildir. Belki de en doğal çözüm, kökten bir yaprağa olan olası yolların ortalama uzunluğuna sahip olmak olabilir. Daha basit (belki de basit) bir çözüm bir düğümün ortalama yüksekliğinin, alt ağaçların artı birinin ortalama yüksekliklerinin ortalaması olduğu anlamına gelir. Doldurun, bu alternatifi kodlamayı daha kolay bulabilirsiniz. Farkı göstermek için örnekler verebilir misiniz? "

— Zamansız

İki varyantın kesin tanımlarını vererek yazınızı daha net hale getirmeye çalıştım. Lütfen metninizi doğru yorumladığımı kontrol edin. Özellikle, ikinci varyantın çapasını kaçırdınız; yaprakları bir veya sıfır yüksekliğe götürürseniz fark yaratır.

— Raphael

Yanıtlar:

Her iki tanımın da aynı ölçüyü tanımladığına inanmak için hiçbir neden yoktur. tekrar tekrar yazabilirsiniz : $\operatorname{avh}_1$

$\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_1(N(l,r)) = \frac{\operatorname{lv}(l)(\operatorname{avh_1}(l) + 1) + \operatorname{lv}(r)(\operatorname{avh_1}(r) + 1)}{\operatorname{lv}(l) + \operatorname{lv}(r)}$

ile yaprak için . Bunun aynı olduğuna inanmıyorsanız , sağ tarafta tanımını açın veya bir indüksiyon kanıtı uygulayın. $\operatorname{avh}_1(l) = 0$ $l$ $\operatorname{avh}_1$

Şimdi oldukça farklı çalıştığını . Birlikte , bir düğüm çocuk yinelemeli yükseklikleri ağırlığında eşit (ekleme ve iki ile bölünmesi), içerdikleri yaprak sayısı göre bunları ağırlığındadır. Yani yaprak dengeli ağaçlar için aynıdır (çapa modulo), bu da kardeş ağaçların eşit sayıda yaprağa sahip olması anlamında dengelidir. özyinelemeli biçimini ile basitleştirirseniz $\operatorname{avh}_1$ $\operatorname{avh}_2$ $\operatorname{avh}_2$ $\operatorname{avh}_1$ $\operatorname{avh}_1$ $\operatorname{lv}(l) = \operatorname{lv}(r)$ bu hemen belirgindir. Ancak dengesiz ağaçlarda farklıdırlar.

Hesaplamalarınız gerçekten doğrudur (tanımınız dikkate alındığında); örnek ağacın yaprak dengeli olmadığını unutmayın.

— Raphael
kaynak

Bu,

için uygulama kodunu göstermek mümkün mü, yinelemeli olarak nasıl yapılacağı hakkında bir fikrim yok

{avh}_{1}

$\operatorname{avh}_1$

— Timeless

{avh}_{1}

$\operatorname{avh}_1$

Yani özyineleme kullanarak uygulama kodu

— Zamansız

@null: Temel durumu dahil etmeniz koşuluyla formülü neredeyse kelimenin tam anlamıyla kopyalayabilirsiniz . Bunu tam olarak nasıl yapacağınız programlama dilinize ve ağaç uygulamanıza bağlıdır. Uygulama sizin için bir engelse, Yığın Taşması yinelemesini almanızı öneririm .

— Raphael

Edit: Jeffe yukarıdaki yorumunda iyi bir noktaya değiniyor. Muhtemelen aşağıdaki cevapta "doğru vs yanlış" ı "uygun / tutarlı vs tutarsız" olarak okumalısınız.

Görünüşe göre ikinci hesaplamanız yanlış. Tek bir düğüme (yani bir yaprağa) sahip bir alt ağacın yüksekliğini 0 olsun. Sonra alt ağaç kökünün yüksekliği:

4'teki yükseklik 0
3'teki yükseklik 0
2'deki yükseklik 3 + 1'deki ortalama yükseklik = 0 + 1 = 1
1'deki yükseklik 2 ve 3'teki yüksekliklerin ortalamasıdır = (0 + 1) / 2 + 1 = 1.5

Bence ilk hesaplamayı doğru yapıyorsunuz ve 1.5 doğru cevap.

— Joe
kaynak

fikir, 2. yaklaşıma dayanarak -1 yüksekliği olan boş düğümdür, bir düğümün ortalama yüksekliği alt ağaçların ortalaması artı 1'dir, düğüm 4'ün ortalama yüksekliği ((-1) + (- 1)) / 2 + 1 = 0 , düğüm 2'nin ortalama yüksekliği (0 + (- 1)) / 2 + 1 = 0,5'tir ve dolayısıyla kökün ortalama yüksekliği 1,25'tir.

— Zamansız

@null Eğer ısrar ederseniz bu şekilde tanımlayabilirsiniz, ancak o zaman iki tanım tutarlı olmayacaktır.

— Joe