Eşdeğerlik ilişkileri problemi kapsar (grafik teorisinde)

Sonlu bir tepe kümesi üzerindeki bir denklik ilişkisi, ayrık bir klips birliği olan yönlendirilmemiş bir grafikle temsil edilebilir. Tepe noktası öğeleri temsil eder ve bir kenar iki öğenin eşdeğer olduğunu temsil eder.

Bir grafiğim ve grafiklerine , kenar kümesi, kenar kümelerinin birleşimine eşitse kapsamında olduğunu söylüyoruz. . kenar kümelerinin ayrık olmasına gerek yoktur. Yönlendirilmemiş herhangi bir grafiğinin sınırlı sayıda denklik ilişkisi (ör., Uçurum grafiklerinin ayrık birleşimi) ile kapsanabileceğini unutmayın . $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G_1,\dots,G_k$ $G$

Birkaç sorum var:

Bir grafik kaplamak için gereken minimum eşitlik ilişkisi sayısı hakkında ne söylenebilir ? $G$
Bu asgari sayıyı nasıl hesaplayabiliriz?
açık bir minimum kapağını , yani boyutu minimum ve kapsayan bir denklik ilişkileri kümesini nasıl hesaplayabiliriz ? $G$ $G$
Bu sorunun bölüm mantığı ( alt kümelerin mantığının ikilisi) dışında herhangi bir uygulaması var mı ?
Bu sorunun köklü bir adı var mı?

Yorumlarda belirtilen çeşitli yanlış anlamalar göz önüne alındığında, bu kavramları gösteren bazı resimler. Daha kolay anlaşılabilecek bir terminoloji ("örtme", "denklik ilişkisi", "kesiksiz uçurumlar birliği" ve "zorunlu olarak ayrık değil" kenar kümeleri birleşimi yerine) hakkında bir fikriniz varsa, bana bildirmekten çekinmeyin.

İşte bir grafiğin resmi ve onu kapsayan bir denklik ilişkisi: grafik ve onu kapsayan bir denklik ilişkisi

İşte bir grafiğin resmi ve onu kapsayan iki denklik ilişkisi: grafik ve onu kapsayan iki denklik ilişkisi
En az iki denklik ilişkisinin gerekli olduğu oldukça açık olmalıdır.

İşte bir grafiğin resmi ve onu kapsayan üç denklik ilişkisi: grafik ve onu kapsayan üç denklik ilişkisi
En az üç denklik ilişkisinin gerekli olduğu daha az açıktır. Altkümelerin Mantığı İkilisinden Lemma 1.9, bunun doğru olduğunu göstermek için kullanılabilir. İkiden fazla girdi ile bu lemmanın operasyonlara genelleştirilmesi, bu sorunun motivasyonuydu.

algorithms graph-theory clique

— Thomas Klimpel
kaynak

Bilinen bir NP-Complete problemidir. en.wikipedia.org/wiki/Clique_cover_problem

— gardenhead

@StephenBly Belki de bilinen bir sorundur, ancak verdiğiniz wikipedia bağlantısı bana gerçekten yardımcı olmuyor. Makale bir tepe örtüsü probleminden bahsediyor, ancak buradaki soru bir kenar örtüsü problemiyle ilgili. Ayrıca bir denklik ilişkisinin bir klik değil, ayrık bir klik birleşimi olduğuna dikkat edin.

— Thomas Klimpel

Denklik ilişkisinin ayrık bir birlik birliği olduğu anlamına mı geliyor? Tepe noktası öğeleri temsil eder ve bir kenar iki öğenin eşdeğer olduğunu temsil eder. Kullandığınız temsil bu değilse, netleştirmelisiniz.

— gardenhead

@StephenBly Aynı sorun olduğunu düşünmüyorum, klik kapak problemi grafiğin köşelerini kapsayan minimum sayıda klik isteyin, burada grafiğin kenarlarını kaplamak için minimum eşdeğerlik ilişkisini arıyoruz. Bu durumda üst sınırın olduğunu görmek kolaydır , çünkü köşelerin herhangi bir grafiğini en fazla eşleşmesine ayırabiliriz .

n - 1

$n-1$

n

$n$

n - 1

$n-1$

— Chao Xu

@YuvalFilmus Soru, birliği sadece verilen grafiği içermeyen, birliği tam olarak verilen grafiğin uç ilişkisi olan en az denklik ilişkisini soruyor.

— David Richerby

Yanıtlar:

$\text{eq}(G)$ $\text{cc}(G)$

Her iki sayı için tam değerin veya iyi bir üst sınırın bilindiği özel grafik sınıfları vardır. Genel olarak, bildiğim kadarıyla, en iyi sınırlar Alon [1] tarafından verilir:

{günlük}_{2} n - {günlük}_{2} d \leq eşdeğer (G,) \leq cc (G,) \leq 2 e^{2} (Δ + 1)^{2} \ln n,

$\log_2 n - \log_2 d \leq \text{eq}(G) \leq \text{cc}(G) \leq 2e^2 (\Delta+1)^2 \ln n,$

$\Delta$ $G$ $\lceil n^2/4 \rceil$

$\sf NP$ $\text{eq}(G)$ $\sf NP$

[1] Alon, Noga. Msgstr "Grafikleri minimum denklik ilişkisi sayısına göre kaplama." Combinatorica 6.3 (1986): 201-206.

[2] Blokhuis, Aart ve Ton Kloks. "Bölünmüş sayıları kapsayan denklik üzerine." Bilgi işleme mektupları 54.5 (1995): 301-304.

[3] Kučera, Luděk, Jaroslav Nešetřil ve Aleš Pultr. "Üç boyutlu karmaşıklık ve bazı grafiklerle ilgili kenar kaplama özellikleri." Teorik Bilgisayar Bilimi 11.1 (1980): 93-106.

— Juho
kaynak

[1] 'den Corollary 1.3 tam olarak ihtiyacım olan şey (bir yolun tamamlayıcıları için geçerli olan sürümde). Artık bölümdeki "(A, B, C, ...) ima (Z, Y, X, ...)" (sıralı hesaptan gelen sıra) hakkında genel bir yazı hakkında yazı yazmamak için bir mazeretim yok mantık ve benzeri klasik olmayan mantık. Ama sanırım bunu en az yarım yıl daha yazmayacağım. Ve belki de bu arada yeni bir bahane buluyorum.

— Thomas Klimpel

@ThomasKlimpel Harika! (Yeni bir mazeret bulabileceğiniz değil, ama bu yardımcı oldu :-))

— Juho

Böyle bir sorunun adını bilmememe rağmen, bu sorunun NP-zor olduğunu gösterebilirim.

Üçgen içermeyen bir grafik için, tüm denklik sınıfları eşleşmelidir. Grafiği kapsayan minimum denklik sınıfı sayısı grafiğin kromatik indeksine eşittir.

Bu makaleye göre , üçgen içermeyen bir grafiğin kromatik indeksini bulmak NP-tamdır.

— Chao Xu
kaynak