Herhangi bir NP-tam probleminden sınırlı PCP'ye polinom azalması

Her yerdeki ders kitapları, Sınırlı Posta Yazışma Sorununun NP-tamamlanmış olduğunu varsayar ( tekrarlarla fazla indekse izin verilmez). Bununla birlikte, hiçbir yerde başka bir NP-tam probleminden basit bir (olduğu gibi, bir lisans öğrencisinin anlayabileceği bir şey) polinom zamanı azalması gösterilmemiştir.$N$

Ancak aklıma gelen her azalma çalışma zamanında üsteldir ( veya serinin büyüklüğüne göre). Belki de SAT'a indirgenebilir olduğu gösterilebilir?$N$

NP azaltımlarında olduğu gibi, benzer sorunları aramak mantıklıdır . Özellikle, "bazı düğümleri görmüş" gibi küresel koşulları, grafik problemlerini kontrendike eden PCP'ye (polinom olarak çok sayıda döşemeyle) kodlamak zordur, paketleme problemleri PCP'deki tekli sayıları kodlamamızı gerektirecektir (üssel olarak büyük örnek oluşturma) ve yakında. Bu nedenle, yalnızca yerel kısıtlamalara sahip bir dize sorununun en iyi şekilde çalışması beklenebilir.

En kısa ortak supersequence sorununun karar versiyonunu düşünün :

İki dize ile | a | = n ve | b | = M ve k ∈ N , bir dize var olup olmadığına karar c ∈ Σ + ile | c | ≤ k , a ve b'nin c'nin alt dizileri olacağı şekilde .$a,b \in \Sigma^+$$|a|=n$$|b|=m$$k \in \mathbb{N}$$c \in \Sigma^+$$|c| \leq k$$a$$b$$c$

Fikir PCP inşa ait supersequences izin vermektir ve b içinde bulunduğumuz hangi konumda karoların örtüşme içinde kodlama, soldan sağa doğru bir ve b sırasıyla. Bu sembol başına bir karo kullanacağız c nedenle, k karşılık için BPCP en bağlı: Biz bu PCP çözebilir eğer ≤ $a$$b$$a$$b$$c$$k$$\leq k$ tersi, sen eşit uzunlukta ortak supersequence kapalı okuyabilir fayans ve yardımcısı.

Fayansların yapımı biraz sıkıcı, ancak oldukça açık. veya b'yi iletmeyen karolar oluşturmayacağımızı unutmayın ; böyle asla bir parçası olamaz$a$$b$ en kısa ortak üstünlüğün olamaz, bu yüzden gereksizdirler. İndirgeme özelliklerini bozmadan kolayca eklenebilirler.

Örtüşmelerdeki sayılar ikili olarak kodlanır, ancak dışındaki semboller kullanılır ve ortak uzunluk günlüğü maks. ( M , n ) ile doldurulur . Bu nedenle, karoların grafik önerileri (tetris), yani karakterler ve dizin kodlama çakışmaları karışmamasını sağlar (PCP bunu engellemez). İhtiyacımız var:$\Sigma$$\log \max(m,n)$

• Fayans başlayarak: ile başlayabilir bir 1 , b $c$$a_1$$b_1$ ya da her ikisi de eşit ise.
• Ara döşemeler: eşitse a , b veya her ikisindeki bir sonraki sembolle devam edebilir .$c$$a$$b$
• Fayans Sonlandırma: son sembolle uçları bir (sonuncusu ise b benzer, hali hazırda görüldüğü) b ya da her ikisinin de sembolü ile.$c$$a$$b$$b$

Bunlar karo şemaları. Ara döşemelerin tüm çiftler için somutlaştırılması gerektiğini unutmayın . Yukarıda belirtildiği gibi, olmadan zemin oluşturmak * yalnızca, ilgili karakterleri bir ve b maçında.$(i,j) \in [n]\times [m]$$*$$a$$b$

^{[ kaynak ]}

"Umurumda değil" için sembolik; gerçek döşemelerde, diğer sembolün buraya kopyalanması gerekir. Not döşeme sayısının olduğunu Θ ( m, n ) ve her bir parça uzunluğuna sahiptir 4 günlük maksimum ( m , n ) + 1 , inşa BPCP örneği öylesine (üzerine alfabe Σ ∪ { 0 , 1 $*$$\Theta(mn)$$4\log \max(m,n) + 1$$\Sigma \cup \{0,1\}$artı ayırma sembolleri) polinom boyutuna sahiptir. Ayrıca, her karonun yapımı polinom zamanında açıkça mümkündür. Bu nedenle, önerilen azalma gerçekten de NP-tam en kısa ortak supersequence problemini BPCP'ye azaltan geçerli bir polinom dönüşümdür.

Kararsızlığını kanıtlamak için kullanılana benzer bir azaltma kullanarak BPCP'nin NP-tamamlanmış olduğunu kanıtlayabileceğinizi düşünüyorum. Polinom zamanında NP'deki herhangi bir sorunun nasıl azaltılacağını göstererek BPCP'nin NP-eksiksiz olduğunu doğrudan kanıtlayacağız.

PCP'nin kararsız olduğunu kanıtlamak için kullanılan standart azaltma ( burada çizilmiştir ) , bir dize w üzerinde belirli bir TM kabul edilen bir hesaplaması varsa bir PCP çözümü olacak şekilde bir dizi fayans inşa ederek çalışır . Bu indirgeme ile oluşturulan karoların sayısı polinom olarak büyüktür - özellikle, inşa edilen dominoların sayısı bant alfabesinin büyüklüğünün ve TM'deki durum sayısının bir fonksiyonudur. Boyutu büyük olabilecek tek domino, w olan ilk domino$M$$w$$w$üzerinde yazılı. Bu azalmayı deterministik TM'ler üzerinde çalışmaktan belirsiz olmayan TM'ler üzerinde çalışmaya kadar genelleştirirsek, geçiş sayısı sonlu olduğu için bu en fazla sabit sayıda domino üretir. Sonuç olarak, polinom zamanındaki normal kararsızlık azalması için standart domino setini oluşturabiliriz.

Bu göz önüne alındığında, herhangi bir NP problemini BPCP'ye aşağıdaki gibi azaltabiliriz - herhangi bir NP problemi göz önüne alındığında, p ( n ) zamanında çalışan bazı polinom-zaman NTM sahiptir . Daha sonra, aşağıdaki gibi polinom zamanda BPCP Bu sorunu azaltmak - arasından domino standart seti oluşturmak M , daha sonra çözelti olup olmadığını sormak kullanımları f ( s ( n ) ) domino, f ifade bazı polinom fonksiyonu çözümün varlığı için gerekli domino sayısı (bu muhtemelen n 2 gibi bir şeydir)$M$$p(n)$$M$$f(p(n))$$f$$n^2$ve kesinlikle üstel değildir). Daha sonra, PCP'nin kararsız olduğunu göstermek için kullandığınız aynı kanıtı kullanarak, bu BPCP örneğine , orijinal NTM M'nin p ( n içinde m kabul etmesi durumunda en fazla döşeme kullanan bir çözüm olduğunu kanıtlayabilirsiniz. ) adımları. Sonuç olarak, NP'deki her problemden BPCP'ye polinom zaman azalması var, bu yüzden BPCP NP zordur.$f(p(n))$$M$$m$$p(n)$

(BPCP'nin NP'de olduğunu da göstermeliyiz, ancak bu kolay; sadece hangi dominoların sıraya koyulacağını belirsiz bir şekilde tahmin edin, ardından kararlılıkla doğrulayın).

Bu yardımcı olur umarım!