Bir dizi doğal sayının maksimum ikili GCD'sini verimli bir şekilde bulma

Aşağıdaki sorunu düşünün:

İzin Vermek $S = \{ s_1, s_2, ... s_n \}$ doğal sayıların sonlu bir alt kümesi olabilir.

İzin Vermek $G = \{$ $gcd(s_i, s_j)$ | $s_i, s_j \in S,$ $s_i \neq s_j \}$ nerede $gcd(x,y)$ en büyük ortak bölen $x$ ve $y$

Öğesinin maksimum öğesini bulun $G$.

Bu problem, Euclid'in algoritmasını kullanarak her bir çiftin en büyük ortak bölenini alarak ve en büyük olanı takip ederek çözülebilir.

Bunu çözmenin daha etkili bir yolu var mı?

İşte verimli bir algoritma ( Python'da ). Lütfen aşağıdaki açıklamayı bulun.

def max_gcd_pair(S):
    # Assumption 1: S is the list of numbers
    # Assumption 2: There are no duplicates in S

    s = set(S)
    m = max(S)

    res = 0
    i = m

    while(i > 0):
        a = i
        cnt = 0
        while (a<=m): # a maxed at max of the list
            if a in s:   
               cnt += 1
            a += i

        if cnt >= 2:  # we have found the result
            res = i
            break

        i = i -1 

    return res

Yukarıdaki kod snippet'inin açıklaması:

Bu problemde aşağıdakileri gözlemliyoruz:

1. Sonuç daha fazla olamaz max(S)
2. Sonuç, bu listede iki veya daha fazla kat içeren bir sayıdır S
3. Aslında sonuç, maxyukarıda belirtilen özellik ile tüm bu sayıların sonucudur .

Bu gözlemlerle, program aşağıdakileri yapar:

1. Bir olun setlistenin. Setler verimli bir şekilde aranabildiğindenO(log(n))
2. Listenin maks. Değerini bulun ve değişkene kaydedin m.
3. Başlayarak mkadar 1, sette iki veya daha fazla katları vardır ilk sayısını bulmak. Bulunan ilk sayı, sonuçtur.

Umarım açık olmuştur. Daha ayrıntılı bir açıklamaya ihtiyacınız varsa lütfen bize bildirin.