Lambda hesabının birleşik yorumu

10

Göre Peter Selinger , Lambda Matematik Cebirsel olan (PDF). Bu makalenin başlarında şöyle diyor:

Bu tatmin etmez, çünkü lambda hesabın kombinatoriyel yorumlanması, kusurlu olduğu bilinen $ξ$ üstünlüğü: yorumuyla, $M = N$ anlamına gelmez $\lambda x.M = \lambda x.N$ (Barendregt, 1984).

Sorular:

Burada ne tür bir denklik kastedilmektedir?
Bu denklik tanımı göz önüne alındığında, çıkarımın karşı örneği nedir?

terminology lambda-calculus combinatory-logic

— Simon Shine
kaynak

7

Eşdeğerlik, tartışılan denklem teorisindeki eşdeğerliktir . Bu durumda, bu teori içermediğini Tablo 1. Not özetlenen teori : teori genişlemeli yapacak bunu yaparken, ve nokta sonunda olmasıdır bakımlardan o CL yapacak ederken, 'ın intensionality kısmen genişletilmiş. Ben emin değil diğer cevap bahseder neden duyuyorum . $\lambda$ $\eta$ $\xi$ $\lambda$ $\eta$

Not ki : $\lambda$

\begin{matrix} (1) & (M =_{β} N) ⟹ (λ x . M =_{β} λ x . N) \end{matrix}

$(M =_\beta N) \Longrightarrow (\lambda x.M =_\beta \lambda x.N) \tag{1}$

Bu sezgisel olarak pek açık olması gerekir: eğer olduğunu için -convertible tek başına duran, o zaman o da için -convertible bunun bir subterm olduğunda . $M$ $\beta$ $N$ $\beta$ $N$ $\lambda x.M$

-rule olarak tanımlanır bu çıkarım, -theory'nin bir parçası olduğunda doğrudan mümkün kılar. CL analogu şöyle olur: $\xi$

\begin{aligned} M & = N \\ (ξ_{λ}) & (λ x . M) & = (λ x . N) \end{aligned}

$\begin{align} M &\;= N \\ \hline (\lambda x.M) &\;= (\lambda x.N) \tag{$\xi_\lambda$} \end{align}$

λ

$\lambda$

\begin{aligned} M & = N \\ (ξ_{C L}) & (λ^{*} x . M) & = (λ^{*} x . N) \end{aligned}

$\begin{align} M &\;= N \\ \hline (\lambda^* x.M) &\;= (\lambda^* x.N) \tag{$\xi_{CL}$} \end{align}$

Şimdi mesele şu ki, CL'de aşağıdakiler geçerli değildir :

\begin{matrix} (2) & (M =_{w} N) ⟹ (λ^{*} x . M =_{w} λ^{*} x . N) \end{matrix}

$(M =_w N) \Longrightarrow (\lambda^* x.M =_w \lambda^*x.N) \tag{2}$

İki dönem zayıf eşitse Başka bir deyişle, daha sonra bu değil mutlaka onların sözde soyut sürümleri için geçerlidir.

Sonuç olarak, bir CL teorisine , farklı normal formlara sahip terimleri eşitlemeye başlarız. $\xi_{CL}$

Not. Burada zayıf eşitliği ifade eder. Bu, bir dizi ve kasılması ( teorinin bir parçasıysa muhtemelen ) ile (ve tersi) dönüştürülebileceği anlamına gelir . Muhtemelen bildiğiniz gibi, CL analogudur . $M =_w N$ $M$ $N$ $\mathsf{S}$ $\mathsf{K}$ $\mathsf{I}$ $=_w$ $=_\beta$

$\lambda^*$ , belgenizin 5. sayfasında tanımlanan sahte soyutlamadır. Aşağıdaki özelliğe sahiptir:

\begin{matrix} (3) & (λ^{*} x . M) N ⊳_{w} [N / x] M \end{matrix}

$(\lambda^*x.M)N \rhd_w [N/x]M \tag{3}$

Bu özellik sayesinde herhangi bir CL analog bulmanızı kolaylaştırır sadece değişiklik: uzun dönem için ve tanımına göre çeviriler uygulamak . $\lambda$ $\lambda$ $\lambda^*$ $\lambda^*$

Açık olmak gerekirse, bu cevaptaki 'karşı örnek' (2) 'ye karşı bir örnek değildir. Çünkü eğer varsa:

\begin{matrix} (4) & M = x \end{matrix}

$M = x \tag{4}$

\begin{matrix} (5) & N = (λ^{*} z . z) x \end{matrix}

$N = (\lambda^*z.z)x \tag{5}$

O zaman gerçekten ifade eder (sayfa 5'in çevirilerini ve sayfa 4'ün sonunda olarak tanımlanır ): $N$ $\mathsf{I}$ $\mathsf{SKK}$

\begin{matrix} (6) & N = (λ^{*} z . z) x = I x = S K K x \end{matrix}

$N = (\lambda^*z.z)x = \mathsf{I}x = \mathsf{SKK}x \tag{6}$

Yana , biz gerçekten de var . Ancak, bu bir karşı , . Ama çevirirsek, aslında: $\mathsf{SKK}x \rhd_w \mathsf{K}x(\mathsf{K}x) \rhd_w x$ $M =_w N$ $(\lambda^* y. M) \not=_w (\lambda^* y. N)$

\begin{matrix} (7) & (λ^{*} y . M) = (λ^{*} y . x) = K x \end{matrix}

$(\lambda^* y. M) = (\lambda^* y. x) = \mathsf{K}x \tag{7}$

\begin{matrix} (8) & (λ^{*} y . N) = (λ^{*} y . S K K x) = K (S K K x) \end{matrix}

$(\lambda^* y. N) = (\lambda^* y. \mathsf{SKK}x) = \mathsf{K}(\mathsf{SKK}x)\tag{8}$

Ve (7) ve (8) 'in hala zayıf bir şekilde eşit olduğunu doğrulamak kolaydır:

\begin{matrix} (9) & K (S K K x) ⊳_{w} K (K x (K x)) ⊳_{w} K x \end{matrix}

$\mathsf{K}(\mathsf{SKK}x) \rhd_w \mathsf{K}(\mathsf{K}x(\mathsf{K}x)) \rhd_w \mathsf{K}x \tag{9}$

Şimdi, (2) 'ye uygun bir karşı örnek şöyle olacaktır:

M = K x y

$M = \mathsf{K}xy$

N = x

$N = x$

Yana , kesinlikle bu bilgisi . Bununla birlikte, soyutlanmış sürümler için dikkatlice tercüme ederseniz, her ikisinin de normal formlar olduğunu göreceksiniz - ve bunlar Church-Rosser teoremine göre dönüştürülebilir olamaz. $\mathsf{K}xy \rhd_w x$ $M =_w N$

İlk önce kontrol ediyoruz : $M'$

\begin{aligned} M^{'} & = λ^{*} x . K x y \\ = S (λ^{*} x . K x) (λ^{*} x . y) \\ = S (λ^{*} x . K x) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (λ^{*} x . x)) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (I)) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (S K K)) (K y) \\ = S (S (K K) (S K K)) (K y) \end{aligned}

$\begin{align} M' &= \lambda^* x.\mathsf{K}xy \\ &= \mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K}x)(\lambda^* x.y)\\ &= \mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K}x)(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\lambda^* x.x))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\mathsf{I}))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\mathsf{SKK}))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\mathsf{KK})(\mathsf{SKK}))(\mathsf{K}y) \end{align}$ Burada nin normal bir form olduğunu doğrulayabilirsiniz . İşte o kontrol edebilirsiniz eğer beklemek gerektiği gibi, CL için bir Redaktör gibi davranmasına gerekiyordu.

M^{'}

$M'$

(λ^{*} x . K x y) P ⊳_{w} P

$(\lambda^* x.Kxy)P \rhd_w P$

λ^{*}

$\lambda^*$

Şimdi ediyoruz : $N'$

\begin{aligned} N^{'} & = λ^{*} x . x \\ = I \\ = S K K \end{aligned}

$\begin{align} N' &= \lambda^*x.x \\ &= \mathsf{I} \\ &= \mathsf{SKK} \end{align}$

Açıkçası den farklı normal bir formdur , bu yüzden Church-Rosser teoremi ile . Ayrıca , yani ve 'nin rasgele girişler için aynı çıkışı ürettiğine dikkat edin . $M'$ $M' \not=_w N'$ $N'P \rhd_w P$ $M'$ $N'$ $P$

Şimdi (2) 'nin CL'de olmadığını ve ' yi içeren bir CL teorisinin zayıf eşit olmayan terimleri eşitleyeceğini kanıtladık . Ama neden önemsiyoruz? $\xi$

Her şeyden önce, birleştirici yorumunu kusurlu hale getirir : görünüşe göre tüm metatheoretik özellikler devam etmez. $\lambda$

Ek olarak ve belki de daha önemlisi, ve CL'nin genişleme teorileri varken , başlangıçta ve yaygın olarak içsel tutulurlar. Intensionality güzel bir özelliktir çünkü ve CL model hesaplaması süreç olarak ve bu açıdan her zaman aynı sonuçları (eşit girdiler verildiğinde) üreten iki farklı program (özellikle farklı bir normal forma sahip terimler) eşitlenmemelidir. içinde saygı duyar, bu ilkeyi ve biz yapmak istiyorsanız genişlemeli, sadece örn ekleyebilir . Ama tanıtımı $\lambda$ $\lambda$ $\xi$ $\lambda$ $\lambda$ $\eta$ $\xi$ CL'de artık tamamen içsel olmazdı (aslında, sadece kısmen öyle). Ve bu makalede ortaya koyduğu gibi 'nin kötü şöhretinin sebebidir . $\xi$

— Roy O.
kaynak

1

Kalite hakkında yorum yapamam çünkü konu hakkında çok az şey biliyorum, ama bu biraz iş gibi görünüyor. Teşekkürler, teşekkürler!

— Raphael

Gerçekten, yazı beklediğimden daha uzun sürdü. Yorumun için teşekkürler. :)

— Roy O.

2

Ah, bu. Olur . Düzenli olarak .

— Raphael

3

DÜZENLE Diğer cevaplayıcı doğru bir şekilde işaret ettiği için bu cevap yanlıştır. Çeviriyi, Selinger'dakinden oldukça farklı olan Asperti & Longo'nun kombine mantığına kullandım.

Aslında, bu çok önemli bir noktayı göstermektedir: lambda hesabının "birleştirici yorumu" tek bir şey değildir! Farklı yazarlar bunu biraz farklı yapıyorlar.

Yanıtımı gelecek nesiller için burada bırakıyorum, ama diğer cevap daha iyi.

Bu bağlamda denklik Selinger gazetesinde Tablo 1 ve 2 ile tanımlanmıştır. Bununla birlikte, biraz farklı bir aksiyomatizasyon işleri biraz daha açık hale getirebilir.

$\lambda$

$\beta$ $(\lambda x. M) N = [N/x]M$ $x$ $N$ $M$
$\eta$ $\lambda y. M y = M$ $y$ $M$

$=$ $\eta$

Bu muhtemelen en basit olduğunu düşünüyorum:

M = x

$M = x$

N = (λ z . z) x

$N = (\lambda z. z) x$

$\lambda y. M = \lambda y. N$

— takma ad
kaynak

η

$\eta$

λ y . M

$\lambda y.M$

λ y . N

$\lambda y. N$

ξ

$\xi$