Yapıların hesaplamasında

İnşaatlar hesabı ve Lambda Küpü içindeki yerine bakıyorum .

Doğru anlıyorsam, küpün her ekseni basit tipli analize tipler içeren başka bir işlem eklemek olarak düşünülebilir, $\lambda_\to$ . İlk eksen, türler arası işleçleri, ikinci türler arası işleçleri ve üçüncü bağımlı yazma veya terimden türe işleçleri ekler. CoC üçüne de sahiptir.

Bununla birlikte CoC, terimini getirir ve çıkarım kurallarına göre P r o p : T y p $Prop$ olduğunu belirtir , ancak aksi takdirde kullanılmaz. Anonim önermeler için olduğunu anlıyorum, ancak mantıksal önermeler bu bağlamda tanımlanmadı.$Prop : Type$

Bana $Prop$ ne için olduğunu, nerede / ne zaman göründüğünü ve küpün eksenleri açısından açıklayabilir misiniz (eğer gerçekten mümkünse)?

Geleneksel Martin-Löf tipi teoride tipler ve önermeler arasında bir ayrım yoktur. Bu, "tür olarak önermeler" sloganı altındadır. Ancak bazen onları ayırt etmenin nedenleri vardır. CoC tam da bunu yapıyor.

Orada CoC birçok varyantları, ama en olurdu , ancak olup , T y s e : p r o s . Başka bir fark, sonsuz sayıda tip evrene sahip olduğumuz ve P r o p'yi imkansız kıldığımızda ortaya çıkar (Coq'un yaptığı budur). Somut olarak, P r o p ve sonsuz sayıda tip evren T y p e 1 , T y p e olan bir CoC varyantını düşünün

$$\mathsf{Prop} : \mathsf{Type}$$ $\mathsf{Type} : \mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Type}_1$ , T y p e 3 ile P r o $\mathsf{Type}_2$$\mathsf{Type}_3$ için oluşum kuralttoluşturmak için açıklamak için olanΠx:AB(x)birbir önerme veya bir tip ya da değil veB(x)ya da bir teklif veya türüdür. Dört kombinasyon vardır: $$\begin{align*} \mathsf{Prop} &: \mathsf{Type}_1 \\ \mathsf{Type}_1 &: \mathsf{Type}_2 \\ \mathsf{Type}_2 &: \mathsf{Type}_3 \\ &\vdots \end{align*}$$ $\prod$$\prod_{x : A} B(x)$$A$$B(x)$

1. $$\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$$
2. $$\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$$
3. $$\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_i} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_i}$$
4. $$\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_j} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_{\max(i,j)}}$$

En ilginç olanı, ikinci ve dördüncü durum arasındaki farktır. Dördüncü kural eğer söylüyor olan i -inci evrenin ve B ( x ) olan j -inci evrenin, daha sonra ürün olan max ( i , j ) inci evrenin. Ama ikinci kural bize anlatıyor P r o p olduğu değil , çünkü sadece "altta bir daha evren" Π x : A B ( x ) in toprakları P r o $A$$i$$B(x)$$j$$\max(i,j)$$\mathsf{Prop}$$\prod_{x : A} B(x)$$\mathsf{Prop}$en kısa sürede ne kadar büyük yapar bir olduğunu. Bu imkansızdır, çünkü P r o p'nin kendisinden nicel olarak belirleyerek P r o p elemanlarını tanımlamamıza izin verir .$B(x)$$A$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$

Somut bir örnek karşısında ∏ A : P r o p A → A İlk ürün T y p e 2'de yaşıyor , ancak ikincisi P r o p (ve değil , T y p e 1 arasındaki bir eleman üzerinde miktarının halde, T y s e

$$\prod_{A : \mathsf{Type}_1} A \to A$$ $$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$$ $\mathsf{Type}_2$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Type}_1$$\mathsf{Type}_1$). Özellikle, bu için olası değerlerden birinin ∏ A : P r o p A → A'nın kendisi olduğu anlamına gelir.$A$$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$