Toffoli Kapısının Evrenselliği

Kuantum Toffoli kapısı ile ilgili olarak :

1. öyle classicaly öyleyse evrensel ve, neden?
2. öyle kuantumsal evrensel ve neden?

Toffoli klasik hesaplama için evrenseldir (@Victor tarafından gösterildiği gibi). Ancak, Toffoli kuantum hesaplaması için evrensel DEĞİLDİR ( gibi çılgın bir şeyimiz yoksa ).$P = BQP$

Kuantum hesaplaması için evrensel olmak için (normal tanımın altında), kapılarınız tarafından oluşturulan grubun, ünitelerde yoğun olması gerekir. Başka bir deyişle, keyfi bir ve hedef üniter verildiğinde, üniter bir elde etmek için sınırlı sayıda kuantum geçidi uygulamanızın bir yolu vardır ki öyle ki .U U ′ | | U - U ′ | | < $\epsilon$$U$$U'$$||U - U'|| < \epsilon$

Toffoli, bu durum altında açıkça evrensel değildir, çünkü her zaman temel durumları temel durumlara alır ve bu nedenle örneğin. Başka bir deyişle, süperpozisyon yaratamaz.$|0\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$

Gönderen wikipedia makalesinde sen gösterdiğini :

Toffoli kapısı evrenseldir; Bu, herhangi bir boolean fonksiyon f (x1, x2, ..., xm) için, x1, x2, ..., xm ve 0 veya 1 olarak ayarlanmış bazı ekstra bitleri ve çıkışları alan Toffoli geçitlerinden oluşan bir devre olduğu anlamına gelir. x1, x2, ..., xm, f (x1, x2, ..., xm) ve bazı ekstra bitler (çöp olarak adlandırılır). Esasen, bu, Toffoli kapılarını, istenen herhangi bir boolean fonksiyon hesaplamasını geri dönüşümlü bir şekilde gerçekleştirecek sistemler oluşturmak için kullanabileceği anlamına gelir.

Bu, basit bir ifadeyle, herhangi bir boolean fonksiyonunun sadece Toffoli kapıları ile inşa edilebileceği anlamına gelir.

Boolean fonksiyonları tipik olarak herhangi bir boolean fonksiyonu oluşturmak için birleştirilebilen OR, AND ve NOT kapılarından yapılır. Aynı şeyin sadece NOR kapıları veya sadece NAND kapıları ile mümkün olduğu yaygın olarak bilinmektedir.

Toffoli kapısı şu şekilde özetlenebilir:

$\rm{Toffoli}(a, b, c) = \begin{cases} (a, b, ¬c) & \mbox{when }a=b=1 \\ (a, b, c) & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

Birinci ve ikinci çıkışlar her zaman birinci ve ikinci girişlere eşit olduğundan, bunları değerlendirebiliriz. Böylece sahibiz:

$\rm{Toffoli}'(a, b, c) = \begin{cases} ¬c & \mbox{when }a=b=1 \\ c & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

Bununla, NAND geçidini şöyle tanımlamak mümkündür:

$\operatorname{NAND}(a, b) = \rm{Toffoli}'(a, b, 1)$

NAND geçidi evrensel olduğundan ve NAND geçidi Toffoli geçidi olarak tanımlanabildiğinden, Toffoli geçidi evrenseldir.

AND ve NOT kapılarını doğrudan inşa ederek Toffoli'nin evrensel olduğunu kanıtlamanın başka bir yolu vardır:

$\operatorname{NOT}(x) = \rm{Toffoli}'(1, 1, x)$

$\operatorname{AND}(a, b) = \rm{Toffoli}'(a, b, 0)$

Daha sonra, De Morgan yasalarını kullanarak OR geçidini inşa edebiliriz :

$\operatorname{OR}(a, b) = \operatorname{NOT}(\operatorname{AND}(\operatorname{NOT}(a), \operatorname{NOT}(b)) = \rm{Toffoli}'(1, 1, \rm{Toffoli}'(\rm{Toffoli}'(1, 1, a), \rm{Toffoli}'(1, 1, b), 0))$

EDIT, soru düzenlendiği ve kapsamı değiştiği için:

İlk olarak, sayısal hesaplamayı anlamıyorum, bu yüzden yanlış bir şey varsa, lütfen bir yorum ekleyin. Bu cevabı tamamlamak için biraz araştırma yaptım ve bununla bitirdim:

Toffoli kapısı tersine çevrilebilir (ancak yukarıda kullanılan Toffoli 'değildir). Bu, onunla yapılan herhangi bir hesaplamanın geri alınabileceği anlamına gelir. Bu:

$(a, b, c) = \rm{Toffoli}(\rm{Toffoli}(a, b, c))$

Bu, Toffoli iki kez uygulanırsa herhangi bir üçlü (a, b, c) için orijinal girişin çıktı olarak alınacağı anlamına gelir.

Tersinirlik önemlidir çünkü kuantum kapıları tersinir olmalıdır, bu nedenle (klasik) Toffoli kapısı bundan dolayı bir kuantum kapısı olarak kullanılabilir.

Gösterdiği gibi burada , Deutsch kapısı Toffoli kapısı olduğunu benzer şekilde tanımlanır, ancak bunun yerine klasik kapısının, bir quantical biridir:

$\operatorname{Deutsch}(a, b, c) = |a,b,c\rangle \mapsto \begin{cases} i \cos(\theta) |a,b,c\rangle + \sin(\theta) |a,b,1-c\rangle & \mbox{for }a=b=1 \\ |a,b,c\rangle & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

Bu şekilde, Toffoli kapısı Deutsch kapısının özel bir örneğidir:

$\rm{Toffoli}(a, b, c) = \operatorname{Deutsch}(\frac{\pi}{2})(a, b, c)$

Toffoli kapısı klasik hesaplama yapar, faz kaydırma işleminden yoksundur, bu Toffoli kapısının sadece 90 derece ( ) faz kayması (ve birden fazla kapıyı birleştirerek, 90 derecenin katlarını elde etmek için). Ancak bu aynı zamanda durum sobreppozisyonları oluşturmak için kullanılamayacağı anlamına gelir, çünkü bu 90 dereceden fazla olmayan açılarda faz kaymaları gerektirecektir, bu nedenle Toffoli kapısı evrensel bir kuantum kapısı değildir.$\frac{\pi}{2}$

Toffoli kapısını Hadamard kapısıyla birleştirirsek, evrensel bir kuantum Tgate seti elde edilebilir. Deutsch kapısının yaptığı da aynen bu.

İlginç referanslar burada , burada ve burada bulunabilir . Deutsch dönüşümünün temellerini gösteren olası değerli bir referans burada olmalıdır , ancak bağlantı şifre korumalıdır.