Reel sayılarla belirlenmiş karmaşıklık sınıfları var mı?

Bir öğrenci kısa süre önce benden onlar için bir NP sertlik kanıtı kontrol etmemi istedi. Şunlar boyunca bir azalma gerçekleştirdiler:

Bu sorun azaltmak NP-tam benim problem için olduğu bilinir böylece (a poli-zamanlı birçok kimse azalma ile birlikte) NP-zor. $P'$ $P$ $P$

Cevabım temel olarak:

Yana değerlerle örneği var Eğer azalma atlamak böylece, bu trivially Turing-hesaplanabilir değil. $P$ $\mathbb{R}$

Resmi olarak doğru olsa da, bu yaklaşımın anlayışlı olduğunu düşünmüyorum: kesinlikle gerçek değerli bir karar (veya optimizasyon) sorununun "doğal karmaşıklığını" yakalayarak gerçekle uğraşmada karşılaştığımız sınırlamaları göz ardı etmek istiyoruz. sayılar; bu konuları araştırmak bir gün daha.

Elbette, "Altküme Toplamı'nın ayrı sürümü NP-tamamlıdır, bu yüzden sürekli sürüm de" NP-serttir "demek kadar kolay değildir. Bu durumda, azaltma kolaydır, ancak sürekli versiyonun daha kolay olduğu, örneğin doğrusal ve tamsayı programlama gibi ünlü durumlar vardır.

RAM modelinin doğal olarak gerçek sayılara kadar uzandığı aklıma geldi; her kaydın gerçek bir sayı depolamasına ve temel işlemleri buna göre genişletmesine izin verin. Düzgün maliyet modeli, yine de - ayrı durumda olduğu gibi - yine de mantıklıyken, logaritmik model anlamsızdır.

Yani sorum şu soruyla ilgilidir: Gerçek değerli sorunların karmaşıklığı konusunda yerleşik kavramlar var mı? "Standart" ayrık sınıflarla nasıl bir ilişkisi vardır?

^{Google aramaları, bunun gibi bazı sonuçlar verir, ancak neyin yerleşik ve / veya yararlı olduğunu ve neyin olmadığını söylemem mümkün değildir.}

— Raphael
kaynak

İlginç "Karmaşıklık ve Gerçek Hesaplama" bulabilirsiniz amazon.com/Complexity-Real-Computation-Lenore-Blum/dp/…

— Kurt Mueller

Bana öyle geliyor ki, öğrencinize verdiğiniz yanıt basit bir nedenden ötürü garanti edilmemişti: Gerçeklere dayalı olarak görüntülemek için kullandığımız hesaplama ne olursa olsun hesaplanabilir gerçekler kullanılarak da yapılabilir . Bunun öğrencinizin amacı için kullanılabilecek bir cevap olup olmadığını bilmiyorum, ama en azından Turing hesaplanabilirlik argümanı eksikliğinden kurtulmalıdır. Ne yazık ki, bunu daha da geliştirmek için bu konularda yeterince uzman değilim.

— babou

@babou Hesaplanabilirlik söz konusu olduğunda, bu makul bir kısıtlama olabilir (ama yine de belirtmek zorunda kalacaklar!). Ancak, karmaşıklıkla ne olur?

— Raphael

@Raphael Demek istediğim aslında bir kısıtlama bile değil ve belirtilmesi gerekmiyor. Bu sadece kaçınılmazdır. Bir hesaplamada dikkate alabileceğiniz tek gerçekler hesaplanabilir gerçeklerdir (Kilise Turing Tezi). Güzel kısım, görünüşe göre ilgili matematiğin hiçbirini uygun bir özenle değiştirmemesi. Hesaplanabilir realitelerin ötesine geçmek, Turing hiyerarşisinin daha yüksek seviyelerini kullanmak, büyüleyici spekülasyonlar, muhtemelen gerçek bir şey üzerinde çok az etkisi olan (pun kaçınılmaz).

— babou

Yanıtlar:

Evet. Var.

Diğer cevapta belirtilen gerçek RAM / BSS modeli var. Modelin bazı sorunları var ve AFAIK, bu konuda fazla araştırma faaliyeti yok. Muhtemelen, gerçekçi bir hesaplama modeli değildir .

Gerçek hesaplanabilirlik hakkında daha aktif olan kavram, daha yüksek tip hesaplama modelindendir. Temel fikir, daha yüksek tip fonksiyonlar için karmaşıklığı tanımlamanız ve daha sonra gerçek sayıları temsil etmek için daha yüksek tip fonksiyonlar kullanmanızdır.

Yüksek tip fonksiyonların karmaşıklığı üzerine çalışma en azından [1] 'e kadar uzanmaktadır. Son çalışmalar için Akitoshi Kawamura'ya gerçek operatörlerin karmaşıklığı hakkında bilgi verin.

Gerçek fonksiyonların karmaşıklığı için klasik referans Ker-I Ko'nun kitabıdır [2]. 6. bölümde Klause Weihrauch'un [3] daha yeni kitabı, gerçek hesaplamanın karmaşıklığını tartışmaktadır (ancak karmaşıklıktan ziyade hesaplanabilirliğe odaklanmıştır).

[1] Stephen Cook ve Bruce Kapron, "Sonlu tipin temel uygulanabilir fonksiyonellerinin karakterizasyonu", 1990.
[2] Ker-I Ko, "Reel Fonksiyonların Hesaplamalı Karmaşıklığı", 1991.
[3] Klaus Weihrauch'un "Hesaplanabilir Analiz", 2000.

— Kaveh
kaynak

Daha yüksek tip fonksiyon modelini gerçek RAM modelinden daha gerçekçi yapan nedir?

— Raphael

@ Raphael, sanırım bağlantılı soruda açıkladım. Tedavi ile daha fazlasını istiyorsanız, birkaç tane var, biri Weirauch'un 9. bölümü. Diğer iyi olan IIRC, Tucker ve Stolenberg-Hansen tarafından yazılmış bir makaledir.

— Kaveh

Benim görüşüme göre gerçek RAM modelinin iki ana sorunu var: bir yandan tartışmasız ana özellikleri olan gerçek sayıların keyfi hassas rasyonel yaklaşımı kavramından yoksun, diğer yandan AFAIK'in kimsenin bilmediği gerçek sayıların karşılaştırılmasına izin veriyor pratikte nasıl yapılır. Sonuç olarak, pratikte verimli bir şekilde hesaplanabilir olduğunu düşündüğümüz bazı gerçek fonksiyonlar modelde hesaplanmazken, modeldeki bazı verimli bir şekilde hesaplanabilir gerçek fonksiyonlar pratikte hiç hesaplanamaz.

— Kaveh

@Kaveh Bütün tartışmaların, soruların ve cevapların belirsizliği beni rahatsız ediyor. Geleneksel sayılamayan gerçeklerden mi, yoksa hesaplanabilir gerçeklerden mi bahsediyoruz? Son yorumunuzdan, "pratikte verimli bir şekilde hesaplanabilir olduğunu düşündüğümüz gerçek fonksiyonlardan" bahsediyorsunuz, bu yüzden bunun hesaplanabilir gerçeklerle ilgili olduğuna inanıyorum. Aslında ne demek istiyorsun?

— babou

Tanımladığınız model Blum-Shub-Smale (BSS) modeli (ayrıca Gerçek RAM modeli) olarak bilinir ve aslında karmaşıklık sınıflarını tanımlamak için kullanılır.

Bu alandaki bazı ilginç problemler , sınıfları ve elbette = olup olmadığı . By biz sorun, polynomially Karar verilebilen olduğu anlamına sorun polynomially doğrulanabilir olmasıdır. sınıfı hakkında sertlik / bütünlük soruları . tam sorununa bir örnek , girdinin değişkenindeki gerçek polinomlar olduğu , Karesel Polinom Sistemi ve $P_R$ $NP_R$ $P_R$ $NP_R$ $P_R$ $NP_R$ $NP_R$ $NP_R$ $QPS$ $m$ $p_1, ..., p_n$ $\subseteq$ $R[x_1, ..., x_n]$ en fazla 2 dereceye sahiptir ve her polinom en fazla 3 değişkene sahiptir. Ortak bir gerçek bir çözüm olup olmadığı sorusu , öyle ki . Bu bir tam sorunudur. $R^n$ $p_1(a), p_2(a), ... p_n(a) = 0$ $NP_R$

Ancak daha ilginç olanı, , (Probalist olarak Kontrol Edilebilir Kanıtlar), , yani sınıfı ve bunun cebirsel hesaplama modelleri ile ilişkisi arasındaki ilişki üzerinde bazı çalışmalar olmuştur . BSS modeli tümüne tava reals bitti. Bu literatürde standarttır ve bugün bildiğimiz şey "şeffaf uzun kanıtlar" ve "şeffaf kısa kanıtlar" olmasıdır. "Şeffaf uzun provalar" ile aşağıdakiler ima edilir: , . Ayrıca "Neredeyse (yaklaşık) Kısa Versiyon" da geçerli bir uzantı var. $PCP$ $PCP_R$ $NP$ $NP_R$ $NP_R$ $PCP_R(poly, O(1))$ $n$ ? Bu, düz çizgi programı tarafından verilen tek değişkenli polinomlar için (sistem) sıfırların varlığı hakkında sorulara yol açar. Ayrıca, "şeffaf uzun kanıtlar" ile kastediyoruz

"saydam" - Sadece okunacak , $O(1)$
uzun - süperpolinom gerçek bileşen sayısı.

Kanıt bağlıdır ve gerçek değerli sorunlara bakmanın bir yolu, Altküme Toplamı ile nasıl ilişkili olabileceğidir - gerçek değerli problemler için yaklaşık algoritmalar bile ilginç olurdu - optimizasyon için - Bildiğimiz Doğrusal Programlama sınıfında , ancak evet problemleri için yaklaşıklık derecesinin tamlığı / sertliği nasıl etkileyebileceğini görmek ilginç olurdu . Ayrıca, başka bir soru ? $3SAT$ $FP$ $NP_R$ $NP_R$ $=$ $co\text{-}NP_R$

sınıfını , polinom aritmetiği hakkında muhakemeye izin vermek için tanımlanan sayma sınıfları da vardır. , üzerinde tanımlanan işlevlerinin sınıfı iken , bunun için çok terimli bir zaman var Turing makinesi ve özelliğine sahip bir polinom ve , dizelerinin sayısını sayar Turing Machine kabul ediyor $NP_R$ $\#P$ $f$ $\{0,1\}^\infty$ $\rightarrow$ $\mathbb{N}$ $M$ $p$ $\forall n$ $\in$ $\mathbb{N}$ $x$ $\in$ $\{0,1\}^{n}$ $f(x)$ $y \in$ $\{0,1\}^{p(n)}$ $M$ $\{x,y\}$ . Gerçekler için bu fikri genişletiyoruz, sadece toplama yapan ve çarpma yapan (bölme yok, çıkarma yok) BSS makineleri - toplama. Ek BSS makineleri (hesaplamadaki düğümler yalnızca toplama ve çarpma işlemlerine izin verir) için modeli , sayımın, ilave BSS makinelerinin kabul ettiği vektörler üzerinde olduğu model haline gelir. Bu nedenle, sayma sınıfı bu sınıf Betti sayılarının ve Euler karakteristiklerinin incelenmesinde yararlıdır. $\# P$ $\#P_{add}$

— user3483902
kaynak

Gerçek RAM (Rasgele Erişim Makinesi) veya BSS (Blum-Shub-Smale) makinesi, daha önce sözü edilen modeldir, bu sınıflar hakkında muhakeme için yaygın olarak norm olarak kabul edilir.

— user3483902

Hayır, bu iddia kesinlikle yanlıştır. Örneğin CCA-Net'e bir göz atın ve bu modeli kaç araştırmacının kullandığını görün.

— Kaveh

Peki, posttaki karmaşıklık sınıfları için kullanılan modeller BSS modelini kullanır ve zaman ilerledikçe başka modeller de olabilir, bu diğer modeller posttaki karmaşıklık sınıflarıyla çalışır mı? BTW, yorum, söz konusu sınıfta kullanılan modellerle ilgili, postanın ele aldığı bir açıklamaydı, bu nedenle başka modeller olup olmadığı konusunda bir açıklama yoktu. Yine, açıklama sınıflarda kullanılan modeller hakkındaydı, hiçbir iddia yoktu.

— user3483902