Stack Overflow'da ( burada ) bir soru soruldu :
Tamsayıdır bir göz önüne alındığında , tam sayı değerlerinin tüm muhtemel kombinasyonları çıktısını bir , B , C ve D denklemi çözmek A 2 + B 2 + C 2 + D 2 = N .
Bu soru elbette Bachet'in sayı teorisindeki Konjonktürü ile ilgilidir (bazen kanıtı nedeniyle Lagrange'ın Dört Kare Teoremi olarak adlandırılır). Tek bir çözümün nasıl bulunacağını tartışan bazı makaleler var, ancak belirli bir N için tüm çözümleri (yani tüm permütasyonlar değil , tüm kombinasyonlar ) ne kadar hızlı bulabileceğimizden bahseden hiçbir şey bulamadım .
Bunu biraz düşünüyor ve bana göre zaman ve mekanda çözülebiliyor gibi görünüyor , burada N istenen toplam. Bununla birlikte, konuyla ilgili önceden herhangi bir bilgi bulunmadığından, bunun benim tarafım için önemli bir iddia mı yoksa sadece önemsiz, açık veya zaten bilinen bir sonuç olup olmadığından emin değilim.
Öyleyse, soru şu ki, belirli bir için tüm Dört Kare Toplamları ne kadar hızlı bulabiliriz ?
Tamam, düşündüğüm (neredeyse) O (N) algoritması. İlk iki destek işlevi, en yakın tam sayı karekök işlevi:
// the nearest integer whose square is less than or equal to N
public int SquRt(int N)
{
return (int)Math.Sqrt((double)N);
}
Ve 0'dan N'ye kadar toplanan tüm TwoSquare çiftlerini döndüren bir işlev:
// Returns a list of all sums of two squares less than or equal to N, in order.
public List<List<int[]>> TwoSquareSumsLessThan(int N)
{
//Make the index array
List<int[]>[] Sum2Sqs = new List<int[]>[N + 1];
//get the base square root, which is the maximum possible root value
int baseRt = SquRt(N);
for (int i = baseRt; i >= 0; i--)
{
for (int j = 0; j <= i; j++)
{
int sum = (i * i) + (j * j);
if (sum > N)
{
break;
}
else
{
//make the new pair
int[] sumPair = { i, j };
//get the sumList entry
List<int[]> sumLst;
if (Sum2Sqs[sum] == null)
{
// make it if we need to
sumLst = new List<int[]>();
Sum2Sqs[sum] = sumLst;
}
else
{
sumLst = Sum2Sqs[sum];
}
// add the pair to the correct list
sumLst.Add(sumPair);
}
}
}
//collapse the index array down to a sequential list
List<List<int[]>> result = new List<List<int[]>>();
for (int nn = 0; nn <= N; nn++)
{
if (Sum2Sqs[nn] != null) result.Add(Sum2Sqs[nn]);
}
return result;
}
Son olarak, algoritmanın kendisi:
// Return a list of all integer quads (a,b,c,d), where:
// a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = N,
// and a >= b >= c >= d,
// and a,b,c,d >= 0
public List<int[]> FindAllFourSquares(int N)
{
// get all two-square sums <= N, in descending order
List<List<int[]>> Sqr2s = TwoSquareSumsLessThan(N);
// Cross the descending list of two-square sums <= N with
// the same list in ascending order, using a Merge-Match
// algorithm to find all combinations of pairs of two-square
// sums that add up to N
List<int[]> hiList, loList;
int[] hp, lp;
int hiSum, loSum;
List<int[]> results = new List<int[]>();
int prevHi = -1;
int prevLo = -1;
// Set the Merge sources to the highest and lowest entries in the list
int hi = Sqr2s.Count - 1;
int lo = 0;
// Merge until done ..
while (hi >= lo)
{
// check to see if the points have moved
if (hi != prevHi)
{
hiList = Sqr2s[hi];
hp = hiList[0]; // these lists cannot be empty
hiSum = hp[0] * hp[0] + hp[1] * hp[1];
prevHi = hi;
}
if (lo != prevLo)
{
loList = Sqr2s[lo];
lp = loList[0]; // these lists cannot be empty
loSum = lp[0] * lp[0] + lp[1] * lp[1];
prevLo = lo;
}
// do the two entries' sums together add up to N?
if (hiSum + loSum == N)
{
// they add up, so cross the two sum-lists over each other
foreach (int[] hiPair in hiList)
{
foreach (int[] loPair in loList)
{
// make a new 4-tuple and fill it
int[] quad = new int[4];
quad[0] = hiPair[0];
quad[1] = hiPair[1];
quad[2] = loPair[0];
quad[3] = loPair[1];
// only keep those cases where the tuple is already sorted
//(otherwise it's a duplicate entry)
if (quad[1] >= quad[2]) //(only need to check this one case, the others are implicit)
{
results.Add(quad);
}
//(there's a special case where all values of the 4-tuple are equal
// that should be handled to prevent duplicate entries, but I'm
// skipping it for now)
}
}
// both the HI and LO points must be moved after a Match
hi--;
lo++;
}
else if (hiSum + loSum < N)
{
lo++; // too low, so must increase the LO point
}
else // must be > N
{
hi--; // too high, so must decrease the HI point
}
}
return results;
}
Daha önce de söylediğim gibi, O (N) 'ye oldukça yakın olmalı, ancak Yuval Filmus'un belirttiği gibi, N'ye Dört Kare çözüm sayısının (N ln ln N) uygun olabileceğinden, bu algoritma olamaz daha az.