Kategori Teorisi, fonksiyonel programlamayı öğrenmek için faydalı mıdır?

Haskell'i öğreniyorum ve dilden etkileniyorum. Ancak ciddi bir matematik veya CS geçmişim yok. Ama ben deneyimli bir yazılım programcısıyım.

Haskell'de daha iyi olabilmek için kategori teorisini öğrenmek istiyorum.

Haskell'i anlamak için kategori teorisinde hangi konuları iyi bir temel oluşturmayı öğrenmeliyim?

Bir de Teorik Bilgisayar Bilimi sitedeki önce verilen bir yanıta , ben kategori teorisi tipi teorisi için "vakıf" olduğunu söyledi. Burada daha güçlü bir şey söylemek istiyorum. Kategori teorisi tip teorisidir . Tersine, tip teorisi kategori teorisidir . Bu noktalarda genişleyeyim.

Kategori teorisi tip teorisidir

Yazılan herhangi bir biçimsel dilde ve hatta normal matematikte, enformel notasyon kullanarak, türündeki işlevleri bildiririz . Yazılı olarak ve "type" olarak adlandırılan bazı şeyler olduğu ve bir türden diğerine "işlev" olduğu fikridir . Kategori teorisi, bu tip "ve" fonksiyonların "cebirsel teorisidir. (Resmen, kategori teorisi, gelenekçilerin set-teorik ayak parmaklarına dokunmaktan kaçınmak için onlara “nesneler” ve “morfizmalar” olarak adlandırır, ancak giderek artan bir şekilde bu teoriyi rüzgara çeken ve daha sezgisel terimleri kullanan kategori teorisyenlerini görüyorum: "tür "ve" function ". Ama,A B $f : A \to B$$A$$B$$f$

Hepimiz liseden itibaren set teorisi üzerine büyüdük. Bu yüzden, set olarak ve gibi tipleri ve set-teorik haritalamalar gibi gibi fonksiyonları düşünmeye alışkınız. Onları hiç böyle düşünmediyseniz, formdasınız demektir. Set teorik beyin yıkamasından kaçtınız. Kategori teorisi, pek çok türde ve birçok türde fonksiyon olduğunu söylüyor. Dolayısıyla, kümeler olarak türlerin fikri sınırlayıcıdır. Bunun yerine, kategori teorisi türleri ve fonksiyonları cebirsel bir şekilde aksiyomize eder. Temel olarak, kategori teorisi budur. Bir tür ve fonksiyon teorisi. Yüksek düzeyde soyutlama içeren, oldukça karmaşık bir hale geliyor. Ancak, eğer bunu öğrenirseniz, türleri ve fonksiyonları derinlemesine anlayacaksınız.B $A$$B$$f$

Tip teorisi kategori teorisidir

"Tip teorisi" derken, her şeyin tip kontrolünü sağlayan katı terim oluşturma kurallarına dayanan herhangi bir türden yazılı dili kastediyorum. Ne zaman böyle bir dilde çalışıyorsak, kategori teorik bir yapıda çalışıyoruz. Set-teorik notasyonları kullanıp set-teorik olarak düşünmemize rağmen, yine de kategorik olarak anlamlı şeyler yazmaya başlıyoruz. Bu inanılmaz bir gerçek .

Tarihsel olarak, Dana Scott bunu ilk fark eden olabilir. Yazılı (ve yazılmamış) lambda matematiğine dayalı anlamsal programlama dilleri modelleri üzerinde çalışmıştır. Geleneksel küme teorik modeller bu amaç için yetersizdi, çünkü programlama dilleri teoriye sahip olmayan sınırsız özyinelemeyi içeriyordu. Scott, programlama fenomenini yakalayan bir dizi anlamsal model icat etti ve lambda matematiğinin tam olarak kartezyen kapalı kategoriler olarak adlandırılan bir kategoriler sınıfını temsil ettiğini fark etti . "Set-teorik" olmayan pek çok kartez kapalı kategorisi vardır. Ancak yazılan lambda matematiği hepsine eşit olarak uygulanır. Scott, " Lambda matematiğinin kuramlarını ilişkilendirme " adında güzel bir makale yazdı."neler olup bittiğini, bir kısmı web üzerinde mevcut görünüyor." Orijinal HB Curry: Kombinatorik Mantık Üzerine Denemeler ", Lambda Calculus ve Formalism Üzerine Denemeler", Academic Press, 1980. Berry ve " Muhtemelen bağımsız olarak Curien de aynı hayata geçirilmiş, işlevsel fikirlerin uygulanmasında bu fikirleri kullanmak için kategorik bir soyut makine (CAM) tanımlamışlar ve uyguladıkları dilin Microsoft'un F # ' nun temel çerçevesi olan "CAML" olarak adlandırılmıştı .

, , vs. gibi standart tip yapıcılar functorlardır . Bu, yalnızca türleri türlerle eşlemekle kalmaz, aynı zamanda türler arasındaki türden işlevlere işlev görürler. Polimorfik fonksiyonlar , functor eylemlerinden kaynaklanan tüm bu fonksiyonları korur. Kategori teorisi 1950'lerde Eilenberg ve MacLane tarafından icat edildi.→ L ı s $\times$$\to$$List$tam olarak polimorfik fonksiyonlar kavramını biçimlendirmek. Onlara "doğal dönüşümler", "doğal" diyorlar çünkü tür değişkenlerini kullanarak doğru şekilde yazabileceğiniz tek kişiler onlar. Bu yüzden, bir kategori programlama teorisinin, programlama dilleri ortaya çıkmadan önce bile, polimorfik programlama dillerini resmileştirmek için icat edildiğini söyleyebiliriz!

Bir set-teorik gelenekçinin, set-teorik notasyonları kullandığında yüzeyin altında gerçekleşen functorlar ve doğal dönüşümler hakkında bilgisi yoktur. Ancak, tip sistemini sadık bir şekilde kullandığı sürece, gerçekten farkında olmadan kategorik yapılar yapıyor.

Tüm söylenen ve yapılanlar, kategori teorisi, türlerin ve fonksiyonların en temel matematik teorisidir. Bu nedenle, tüm programcılar, özellikle işlevsel programcılar olmak üzere, biraz kategori teorisi öğrenmekten faydalanabilirler. Ne yazık ki, özellikle programcıları hedef alan kategori teorisi hakkında herhangi bir ders kitabı görünmemektedir. "Bilgisayar bilimi için kategori teorisi" kitapları tipik olarak teorik bilgisayar bilimi öğrencileri / araştırmacılarına yöneliktir. Bilgisayar bilimcileri için temel kategori teorisi olan Benjamin Pierce'in kitabı belki de en okunaklı olanıdır.

Ancak, web üzerinde programcıları hedef alan birçok kaynak var. Haskellwiki sayfa iyi bir başlangıç noktası olabilir. At Midlands Graduate School , biz (diğerleri arasında) kategorisinde teorisi üzerine dersler var. Graham Hutton'un kursu "acemi" kursu, benimki de "ileri" kursu. Ancak her ikisi de temelde aynı içeriği kaplar, farklı derinliklere gider. Chalmers Üniversitesi dünyanın dört bir yanından gelen kitaplar ve ders notları hakkında güzel bir kaynak sayfasına sahiptir . "Sigfpe" nin coşkulu blog sitesi, programcının bakış açısından pek çok iyi sezgi de sunuyor.

Öğrenmek isteyeceğiniz temel konular:

• kategori tanımı ve bazı kategori örnekleri
• fonktorlar ve bunlardan örnekler
• doğal dönüşümler ve bunlardan örnekler
• ürünlerin, kopyaların ve üstlerin tanımları (fonksiyon alanları), ilk ve son nesneler.
• adjunctions
• monad, cebir ve Kleisli kategorileri

Kendi ders notları içinde Midlands Graduate School sonuncusu (monads) dışındaki tüm bu konuları kapsar. Bugünlerde monadlar için uygun başka kaynaklar var. Yani bu büyük bir kayıp değil.

Ne kadar çok matematik bilirseniz, kategori teorisini öğrenmek o kadar kolay olur. Kategori teorisi genel bir matematiksel yapı teorisi olduğu için, tanımların ne anlama geldiğini anlamak için bazı örnekler bilmek faydalı olacaktır. (Kategori teorisini öğrendiğimde, programlama dili anlambilimi konusundaki bilgilerimi kullanarak kendi örneklerimi oluşturmam gerekti, çünkü standart ders kitaplarında sadece hiçbir şey bilmediğim matematiksel örnekler vardı.) Sonra Lambek'in mükemmel kitabı geldi. ve Scott " Kategorik mantığa giriş ""hangi kategorilerle ilgili hangi tip teoriyi yazıyorlar (" mantık "olarak adlandırıyorlar). Artık kategori teorisini, birçok örnek bile bilmeden, sadece tip sistemleriyle ilişkilendirerek anlamak mümkün. Yukarıda bahsettiğim kaynakların çoğu bunu kullanıyor. kategori teorisini açıklamak için yaklaşım.

Kısa ve tatlı tutmaya çalışacağım. Haskell programları ile bazı çalışmalarla daha resmi hale getirilebilecek belirli sınıf sınıfları arasında resmi olmayan bir yazışma vardır. Bu yazışma Curry-Howard-Lambek yazışmaları olarak bilinir ve aşağıdakilerle ilgilidir:

1. Kategorinin nesneleri ile Haskell türleri
2. Şartlar tipi ile morfizimler (benzer gösterimler dikkat edin)f : A → $A\rightarrow B$ $f\colon A\rightarrow B$
3. Cebirsel veri türleri ile ilk nesne
4. Tip kurucular ile functors
5. vb

Liste uzayıp gider, ancak önemli bir nokta, kategori teorisinde monad ve cebir gibi şeyleri tanımlayabilmeniz ve hem matematikçiler için faydalı hem de Haskell programlama uygulamasında yaygın olan kavramlar ortaya çıkarabilmenizdir .

Hangi kitabı önereceğimi bilemiyorum, çünkü bilgisayar bilimcileri için kategorilerle ilgili tamamen tatmin edici bir tanıtım kitabı bulamadım. Kategoriler, Tipler ve Yapıları Asperti ve Longo ile deneyebilirsiniz . Fikir, ayarlara kadar temel tanımları öğrenmek ve daha sonra bu kavramları denemek ve anlamak için mükemmel bloglardan bazılarını okumaya çalışın.

@AJed'in tavsiyesini yinelemek, ifadenizi çevirmenizi tavsiye ederim

I want to learn category theory so I can become better at Haskell.

Kafasında: Haskell'i öğrenin, programlama sezginizi geliştirin. Bir FP gurusu olduğunuzda, kategori teorisini yakalamak daha kolay olabilir (eğer hala umursuyorsanız).

Kategori teorisi geniş matematik eğitimine sahip (basit, gruplar, halkalar, vektör uzayları, topoloji vb.) Birileri için basittir. Bu arka plandan yoksun olarak, kategori teorisi neredeyse aşılamaz. Kategori teorisinin güzelliği, pek çok görünüşte alakasız şeyleri bir araya getirmesidir (örneğin, unutkan functorlerin sol ekleri, serbest gruplar, evrensel saran cebirler, Stone-Cech kompaktlaşmaları, grupların abelizasyonları ...) ve böylece karmaşıklığı azaltır. Ancak, kategori teorisinin birleştirdiği birçok örneğe aşina değilseniz, kategori teorisi hayatınızı zorlaştıran ek bir karmaşıklık katmanıdır.

Tecrübelerime göre, birinin zaten bildiği şeyleri inşa etmek öğrenmesi daha kolaydır. Bir yazılım geliştiricisi olarak, programlama hakkında çok şey biliyorsunuz ve Haskell programlama diğer programlardan farklı değildir, bu yüzden benim önerim Haskell'e pragmatik bir programlama bakış açısıyla yaklaşmak ve kategori teorisini görmezden gelmektir. Haskell'deki kategori teorisi, örneğin bazı monad'lar için destek, bir programcının kategori teorisi ile yoldan ayrılmadan yakalaması çok daha kolaydır. Ne de olsa, monadlar yalnızca genelleştirilmiş bir yapıya sahipler (ve programlama uygulamanızda zaten monad'ları kullanmış olacaksınız - siz bilmeden de olsa) ve Haskell monadik yasaları zorlamadığı için gerçekte monad'ları desteklemiyor.

Kısa cevap: hayır [ama bu sadece bir fikir]

Haskell'de iyi olmak için Kategori Teorisine veya başka bir teorik alana gitmeyin. Kuyruk özyineleme, harita, azaltma ve diğerleri gibi fonksiyonel programlama tekniklerini öğrenin. Mümkün olduğu kadar kod okuyun. Mümkün olduğu kadar çok fikir uygulayın. Sorun yaşarsanız okuyun ve okuyun.

Haskell ve diğer fonksiyonel programlama paradigmalarını öğrenmek için iyi bir teorik referans istiyorsanız, o zaman şöyle bir göz atın: Lambda Calculus İle Fonksiyonel Programlamaya Giriş, Greg Michaelson (çevrimiçi olarak mevcuttur). ... Başka benzer kitaplar da var.

İşte kategori teorisi fikirlerinin pratik programlama için nasıl uygun olduğu konusunda motivasyon veren (uzun) bir blog yazısı: http://cdsmith.wordpress.com/2012/04/18/why-do-monads-matter/

Kategori teorisi çok karmaşık bir matematik dalıdır ve mastering, önceki öğrenmelerinizin çoğunu aynı soyut nesnelerin örnekleri yaparak birleştirecektir. Bu yüzden çok kullanışlı ve sezgisel. Fakat çok geniş ve geniştir ve kendinizi hangisinin ihtiyaçlarınız için uygun olduğunu ve hangisini atlamanız gerektiğini bile bilmeyecek birçok yeni kavramda bulacaksınız. Bu yüzden, amaçlı yaklaşımınız kavramlar arasında bir seçim yapmayı gerektirir, aksi halde bunun üstesinden gelmek kaçınılmaz olarak uzun zaman gerektirir ve gerçekten bir çalışma alanı değildir.

Bu arada, amacın burada olmak için çok iyi bir başlangıç ​​noktası öneriyorum .