Basit yolların sayısı bulur algoritması

$G=(V,E)$$s$$t$$s$$t$$G$
$t$$s \rightsquigarrow t$dolayısıyla, tüm diğer yolun alt yol ise o zaman da DFS biz gelen yollarının sayısını bulmalıyız bitişiklik listesi düşünün örneğin again.For bu alt yolun geçtiği için . Burada DFS, ile başlayacaktır ve sonra ile başlayacağını söyleyecektir, çünkü DFS normal şekilde çalışacaktır. yol çünkü karşılaştığımızda köşelerin rengini değiştirmeyiz, .v p o'in s z o r s v s r r y y v v w $p$$v$
pp⇝zvPsryvvs,r,y,vso

$$\begin{array}{|c|c c c|} \hline p &o &s &z \\ \hline o &r &s &v\\ \hline s &r \\ \hline r &y \\ \hline y &v \\ \hline v &w \\ \hline z & \\ \hline w &z \\ \hline \end{array}$$ $p$$p \rightsquigarrow z$$v$$psryv$$v$$s,r,y,v$$pov$ rengi yana yolu white.Then hala rengi yana , beyaz ve benzer bir yol içinde bir sayaç .Ayrıca artırılır olsun ki korunur karşılaşılmaktadır.p o'in s r y v s s o r y v $v$$posryv$$s$$poryv$$v$

Algoritmam doğru mu? Aksi takdirde, doğru yapmak için hangi değişikliklerin yapılması gerektiğini, aksi takdirde diğer yaklaşımları takdir edersiniz.

Not : Burada, "Cormen tarafından algoritmalara giriş" başlıklı kitapta verilen DFS algoritmasını , durumlarına göre düğümleri renklendirdiği düşünmüştüm. Yani eğer düğüm görünmezse, keşfedilmemiş ve araştırılmışsa, renk beyaz olacaktır. sırasıyla gri ve siyah. Diğer her şey standart.

Mevcut uygulamanız bir DAG'deki doğru sayıda yolu hesaplayacaktır. Ancak, yolları işaretlemeyerek üssel zaman alacaktır. Örneğin, aşağıdaki çizimde, DAG'nin her aşaması toplam yol sayısını 3 katına çıkarır. Bu üssel büyüme dinamik programlama ile gerçekleştirilebilir.

Bir DAG'deki - yollarının sayısının tekrarı, yineleme tarafından verilir, t Yollar ( u ) = { 1 ise  U = t Σ ( u , v ) ∈ e Yollar ( v ) $s$$t$

$$\text{Paths}(u) = \begin{cases} 1 & \text{if } u = t \\ \sum_{(u,v) \in E} \text{Paths}(v) & \text{otherwise.}\\ \end{cases}$$

DFS'de yapılan basit bir değişiklik bunu aşağıdaki gibi hesaplayacaktır.

def dfs(u, t):
    if u == t:
        return 1
    else:
        if not u.npaths:
            # assume sum returns 0 if u has no children
            u.npaths = sum(dfs(c, t) for c in u.children)
        return u.npaths

Her kenarın sadece bir defa bakıldığını görmek zor değildir, bu nedenle çalışma zamanıdır .$O(V + E)$

Yalnızca bir düğümden hedef düğüme giden yol sayısının, çocuklarından hedefe giden yol sayısının toplamı olduğunu fark etmeniz gerekir. Bu algoritmanın her zaman duracağını biliyorsunuz çünkü grafiğinizde herhangi bir döngü yok.

Şimdi, düğümleri ziyaret ederken bir düğümden hedefe giden yol sayısını kaydederseniz, zaman karmaşıklığı tepe sayısında doğrusal olur ve düğüm sayısında doğrusal doğrusal olur.

Bir DAG'deki herhangi iki köşe arasındaki yol sayısı, bitişik matris gösterimi kullanılarak bulunabilir.

A'nın G'nin bitişik matrisi olduğunu varsayalım. Buna, kimlik matrisi ekledikten sonra A'nın Kth gücünü alarak, uzunluğu <= K olan yol sayısını verir.

Bir DAG içerisindeki herhangi bir basit yolun maksimum uzunluğu | V | -1 olduğundan, | V | -1. Gücünün hesaplanması tüm köşe çiftleri arasında yol sayısını gösterir.

Her bir TC: | V | ^ 2 log (| V | -1) muliplication yapılarak | V | -1 th gücü hesaplanabilir.