Birçok bölünebilirlik koşuluyla alt küme toplamı


28

bir doğal sayılar kümesi olsun . Biz düşünün yani bölünebilme kısmi sipariş altında . letS s 1s 2SSs1s2s1s2

α(S)=max{|V|VS,V bir antichain } .

Sayıların çoklu kümesinin S olduğu alt küme problemini göz önüne alırsak, \ alpha (S)S ile ilgili problemin karmaşıklığı hakkında ne söyleyebiliriz ? \ Alpha (S) = 1 olup olmadığını görmek kolaydır, o zaman problem kolaydır. \ Alpha (S) = 1 \ hançer olduğunda daha sert sırt çantası problemi için bile kolay olduğuna dikkat edin .α(S)α(S)=1α(S)=1


ardışık sırt çantası problemlerini M. Hartmann ve T. Olmstead (1993) tarafından çözme


1
"İlişki" yerine "kısmi sıra" terimlerini kullanmanızı öneririm. Ayrıca, minimal düşünce üzerine, Frobenius madeni para problemi alakalı olabilir (elbette emin değilim olsa da)
Aryabhata

Yanıtlar:


2

Bu problem, doğrusal programlama kullanılarak polinom zamanında çözülebilir ve bu herhangi bir kısmi düzen için de geçerlidir . Bu arada, herhangi bir sonlu kısmi sipariş seti için sonlu bir küme ve bir . hepsi için .( S , ) S 'K f : S G ' in 1 , s 2S , s 1s 2f ( s 1 ) | f ( s 2 )(S,)(S,)SNf:SSs1,s2S,s1s2f(s1)|f(s2)

Let zincirler oluşturduğu set olmak . tüm in , veya için bir zincir iff olduğunu hatırlatın S CCSC C v v v vv,vCvvvv

Şimdi her için bir boolean değişkeni ve her zinciri için bir boolean değişkeni oluşturun . için aşağıdaki doğrusal programı yazabiliriz : xvvSyCC(P)

MaxvSxvsubject tovCxv1,CCxv{0,1},vS

ve onun ikili :(D)

MinCCyCsubject toC:vCyC1,vSyC{0,1},CC

O zaman, zincirleme bir emir setinin minimum kapağını bulma problemi, problemimizin iki katıdır. Dilworth teoremi devletler bu

Bir antichain A vardır ve bölümdeki zincirlerin sayısı A'nın kardinalitesine eşit olacak şekilde düzenin zincir ailesinin P'sine bölünmesi vardır.

bu, bu iki problemin optimal çözümünün eşleştiği anlamına gelir:Opt(P)=Opt(D)

Let ( solunum. ) gevşemesi olarak ( resp. ) , yani , aynı doğrusal program tüm kısıtlar ( solunum. ) ile değiştirilir ( Resp. ). ve optimal çözümleri olmasını sağlayın . beri elimizde: ve zayıf dualite teoremi, kurar.(P) (D)(P) (D)xv{0,1} yC{0,1}xv[0,1] yC[0,1]Opt(P)Opt(D){0,1}[0,1]

Opt(P)Opt(P) and Opt(D)Opt(D)
Opt(P)Opt(D)sonra her şeyi bir araya getirerek elimizde:
Opt(P)=Opt(P)=Opt(D)=Opt(D)

Daha sonra, Ellipsoid metodunu kullanarak , polinom süresinde ( ) 'i hesaplayabiliriz . Üstel bir dizi kısıtlama var ama polinom zaman ayırma kâhiri var. Nitekim bir çözüm verildiğinde , tüm çiftleri numaralandırabilir ve veya olup olmadığını kontrol edebilir ve bu nedenle polinom zamanında uygulanabilir olup olmadığını ya da zincirle ilişkili kısıtlamaları ihlal edildi.Opt(P)=Opt(P)Xs1,s2Xs1s2s2s1X{v1,v2}


Biz (1) değişken bir polinom sayısı ve (2) bir varsa kısıtlamalar sayısı ne olursa olsun, Ellispoid yöntem işler ayırma oracle herhangi bir çözüm verilen olup polinom zamanda karar uygulanabilir veya ihlal bir kısıtlamaları bulmak . [ Www-math.mit.edu/~goemans/18433S09/ellipsoid.pdf] okumanızı öneririm , wikipedia bu noktada çok açık değilxxx
Mathieu Mari

Üstel kısıtlamaların neden bir sorun olmadığını ve dualitenin alaka düzeyini açıkladığınız için teşekkür ederiz. Çok hoş!
DW
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.