Neden daha büyük giriş boyutları daha zor örnekler içeriyor?

Aşağıda, sonsuz bantlı bir Turing makinesi ile çalıştığımızı varsayalım.

Birine zaman karmaşıklığı kavramını ve bir örneğin giriş boyutuna göre neden ölçüldüğünü açıklarken, aşağıdaki iddiada karşılaştım:

[..] Örneğin, iki tamsayıyı 100000 bit ile çarpmak için, örneğin iki tamsayıyı 3 bit ile çarpmaktan daha fazla adıma ihtiyacınız olması doğaldır.

İddia ikna edici, ancak bir şekilde el sallıyor. Karşılaştığım tüm algoritmalarda, giriş boyutu büyüdükçe daha fazla adım gerekir. Daha kesin bir ifadeyle, zaman karmaşıklığı girdi boyutunun monoton olarak artan bir fonksiyonudur .

Zaman karmaşıklığının girdi boyutunda her zaman artan bir işlev olduğu bir durum mu? Öyleyse, neden böyle? El sallamanın ötesinde bir kanıt var mı ?

complexity-theory time-complexity intuition

— Kaveh
kaynak

"Doğrudan orantılı", temelde doğrusal zaman anlamına gelen belirli bir matematiksel anlama sahiptir. Başka bir deyişle, girdinizde

boyutu varsa, zaman doğru orantılıysa algoritma

zamanında çalışır . Pek çok algoritmanın doğrusal zamanda, yani sıralamada çalışmadığından, kastettiğinizin bu olmadığını hayal ediyorum. Daha fazla açıklayabilir misiniz?

n

$n$

c n

$cn$

— SamM

Yani

zamanda çalışan bir algoritma mı soruyorsunuz ?

, giriş boyutuna bakılmaksızın algoritmanın aynı zamanda çalıştığı anlamına gelir,

giriş büyüdükçe daha hızlı çalıştığı anlamına gelir. O zaman kafamın üstünde çalışan birini düşünemiyorum, ama gösterim oldukça yaygın çünkü algoritma genellikle

zamanı gibi bir şeyde çalışacak - başka bir deyişle ,

o (1)

$o(1)$

O (1)

$O(1)$

o (1)

$o(1)$

O (n^{2}) + o (1)

$O(n^2) + o(1)$

O (n^{2})

$O(n^2)$ girdi büyüdükçe küçülen başka terimler de vardır.

— SamM

İyi soru. Bazı büyük

için

ana faktörlerini hesaplamanın karşı örneğine ne dersiniz (bu sadece

için artan bir fonksiyondur )? @Sam Artan bir fonksiyonun, zamanın gerçek çizgi boyunca bir noktada azalması gerektiğini söylediğini (örneğin,

c / n

$c / n$

c

$c$

n \geq c

$n \geq c$

f (b) < f (a), a < b

$f(b) < f(a), a < b$

— Casey Kuball

@Darthfett Korkarım takip etmiyorum. Artan işlevlerin tümü gerçek çizgi boyunca bir noktada azalmıyor.

— SamM

@ Jennifer Evet, anlıyorum, bu mantıklı. Aradığın anlamı olduğu için

terimini kullanmanızı tavsiye ederim . Doğrudan orantısallığın doğrusallığı ima ettiğini yeniden vurgulamak istiyorum; Neye ulaştığınızı görüyorum, ancak soruyu ilk kez okuyanlar için kafa karıştırıcı olabilir.

o (1)

$o(1)$

— SamM

Yanıtlar:

Zaman karmaşıklığının girdi boyutunda her zaman artan bir işlev olduğu bir durum mudur? Öyleyse, neden böyle?

Hayır durduktan sonra bir Turing makinesi göz önünde adımları giriş boyutu ne zaman , hatta ve durduktan sonra olduğunda adımları garip. $n$ $n$ $n^2$ $n$

Bir sorunun karmaşıklığını kastediyorsanız, cevap hala hayırdır. Öncelik testinin karmaşıklığı, çift sayılar için tek sayılardan çok daha küçüktür.

— JeffE
kaynak

Zaman karmaşıklığının girdi boyutunda her zaman artan bir işlev olduğu bir durum mudur? Öyleyse, neden böyle? El sallamanın ötesinde bir kanıt var mı?

Let giriş boyutu belirtir. Girişin tamamını okumak için, bir turing makinesinin zaten adıma ihtiyacı vardır . Yani bir algoritma o tüm giriş var okumaya olduğunu varsayalım (veya bazı sabit için ), her zaman en az doğrusal çalışma süresi ile sona erecek. $n$ $n$ $n/c$ $c$

"Monoton olarak azalan çalışma süresi fonksiyonu" ile algoritmaları tanımlamaktaki sorun, için çalışma süresini bir şekilde tanımlamanızdır . Bunu sonlu bir değere ayarlamanız gerekir . Ancak için sonsuz olası değerler vardır , bu nedenle sonsuz birçok değer için sabit olan bir işlev elde edersiniz. $n = 1$ $n > 1$

Muhtemelen alt doğrusal algoritmalar , tüm girdiyi okumayan sizin için ilgi çekicidir. Bkz. Örneğin http://www.dcs.warwick.ac.uk/~czumaj/PUBLICATIONS/DRAFTS/Sublinear-time-Survey-BEATCS.pdf .

— Christopher
kaynak

Alt doğrusal algoritmalar vardır. Örneğin, people.csail.mit.edu/ronitt/sublinear.html adresine bakın . Oldukça yeni bir alan ama çok ilginç. Buna başka karşı örnekler de var. Sıralı bir liste verilen bir elemanın bulunması RAM modelinde

süresi alır . Gönderinin arkasındaki fikre katılıyorum. Girişin büyüdükçe bir algoritmanın daha az zaman alması mantıklı değildir, çünkü tüm girdiyi okumak için zamanı yoktur (daha az zaman almayı nasıl bilir?). Ama var olmadıklarını ve bir hile yapamadığını nasıl kanıtlayacağımı bilmiyorum

O (\log n)

$O(\log n)$

o (1)

$o(1)$

— SamM

@Sam: Üzgünüm, düzenlememden önce yorumunuzu görmedim (alt doğrusal algoritmalar ekleyerek).

— Christopher

tam tersi; Yorumumu eklemeden önce düzenlemenizi görmedim. Ben

— silerdim

bir karşı örnek:

gibi sabit bir işlev . Açıkladığınız, girdilerini okuması gereken işlevler için çalışır .

f (x) = 0

$f(x)=0$

— Kaveh

İlişkisi olduğu iyi kurulmuş doğal sayılar hiçbir sonsuz düşen dizileri vardır, yani. (En kötü durum) çalışma zamanı fonksiyonları naturals eşlemek için, bütün çalışma zamanı işlevleri dolayısıyla sahip olmak olmayan azalan (limiti) tüm çalışma zamanı fonksiyonları olduğunu. $(\mathbb{N},\leq)$ $\Omega(1)$

Bununla birlikte, ortalama çalışma süreleri, örneğin Mergesort gibi salınımlı bileşenler içerebilir .

— Raphael
kaynak

Bu cevabın soru ile nasıl ilişkili olduğunu anlamıyorum.

— A.Schulz

@ A.Schulz "Zaman karmaşıklığının girdi boyutunda her zaman artan bir işlev olması durumudur?" Ana sorusunun bir kanıtıdır, "" azalan "olarak" artan "olarak okunur, yani zorunlu olarak artmaz.

— Raphael

\neq

$\not=$

@ A.Schulz: Yine de, yorumum Jennifer'ın ilgilendiği şey gibi görünüyor .

— Raphael