Üçlü iç içe bir döngünün zaman karmaşıklığı

13

Lütfen aşağıdaki üç iç içe döngüyü göz önünde bulundurun:

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = i; j <= n; ++j)
        for (int k = j; k <= n; ++k)
            // statement

Buradaki ifade tam olarak kez. Birisi bu formülün nasıl elde edildiğini açıklayabilir mi? Teşekkür ederim. $n(n+1)(n+2)\over6$

algorithms time-complexity algorithm-analysis

— Xin
kaynak

1

Sorusu iç içe döngüler Zaman karmaşıklığı formülü de ilgi çekici olabilir.

— Juho

14

Döngüsünün en içteki yürütme sayısını, yürütüldüğü üçüzlülerin sayısını sayarak sayabilirsiniz . $(i,j,k)$

$1 \leq i \leq j \leq k \leq n$

$n+2$
$n+2$
- $i$
- $j$
- $k$

$n+2$ $n+2 \choose 3$

— rizwanhudda
kaynak

2

Güzel cevap! İ, j, k'nin kesin değerleri önemli değildir. Sadece herhangi bir mavi kutunun n olası pozisyona yerleştirilebileceğini ve pozisyonlarının sınırlı olduğunu bilmeliyiz: 2. her zaman 1'den sonra ve 3'ten önce gelir.

— Dávid Natingga

@rizwanhudda kısmı hariç . Açıklayabilir misiniz lütfen? doğru sayıya benziyor.

+ 2

$+2$

n + 2

$n+2$

n + 3

$n+3$

— saadtaame

1

@saadtaame Evet. Sen sahip düşünün edebilirsiniz kırmızı kutuları, ancak "arasından mavi boyama için 3 kırmızı kutuları seçme özgürlüğü olan sen (bu yana mavi olarak ilk kutuyu renklendirmek olamaz gibi kırmızı kutuları" )

n + 3

$n+3$

n + 2

$n+2$

i \geq 1

$i \geq 1$

— rizwanhudda

3

benim için, iç döngünün kez yürütüldüğünü ve iç döngüdeki toplam yürütme sayısının $n-i$

$(n-i)+(n-i-1)+(n-i-2)+\ldots+1$

bu olarak yeniden yazılabilir ve kez yürütülür , dolayısıyla toplam yürütme sayısı $\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j$ $n$

\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n - i} n - i - j = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}

$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

— andy mcevoy
kaynak

Sizin için bir meydan okuma: X-yuvalanmış bir döngünüz olduğunu hayal edin. Önceki cevaba göre x kez seçer (n + x-1). Formülünüzü nasıl hesaplarsınız?

— Dávid Natingga

Neyse ki OP x-yuvalanmış için sormadı! Verilen diğer yanıt x-iç içe döngüye nasıl genişler? Cevabım 0'dan n'ye, 0'dan n-i_1'e, 0'dan n-i_2'ye, ..., 0'dan n-i_x'e kadar daha fazla toplam almalı. Ama bunu nasıl hesaplayacağımı bilemezdim.

— andy mcevoy

1

Yanıt genel bir x için açık bir şekilde genişlemez, ancak sunulan muhakeme sürecinin x-iç içe döngülere uygulanması kolaydır. Sadece daha fazla mavi kutu eklersiniz. Bu meblağları nasıl hesaplayacağımı da bilmiyorum.

— Dávid Natingga